Параллелепипед. Построение сечений. Площадь сечения: Часть 4

Видео

Конспект

Пример 3.9

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: AB = 4 , BC = 3 , AA_1 = 2 . Точки P и Q — середины рёбер A_1B_1 и CC_1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B_1C_1 в точке K .

Докажите, что B_1K:KC_1 = 2:1 .

Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью APQ .

Решение.

а) Построим сечение параллелепипеда плоскостью (APQ) . Соединим точки A и P , так как они принадлежат одной грани AA_1B_1B (рис. 15).

Stereo_2_37_s

Рис. 15: К примеру 3.9

Грани AA_1B_1B и DD_1C_1C параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Проведем QP_1 \parallel AP . Продлим прямую AP_1 , лежащую в плоскости нижней грани ABCD , и прямую BC , также лежащую в плоскости нижнего основания, до их пересечения в точке P_3 . Продлим P_3Q до пересечения с ребром B_1C_1 в точке K . Рассмотрим подобные треугольники \triangle P_1CP_3 \sim \triangle ABP_3 (по двум углам). Из этого подобия следует отношение \frac{CP_3}{BP_3} = \frac{CP_1}{BA} = \frac{1}{4} . Отсюда \frac{CP_3}{BC+CP_3} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4CP_3 = 3+CP_3 \Rightarrow 3CP_3=3 \Rightarrow CP_3=1 .

Рассмотрим \triangle CQP_3 и \triangle C_1QK . Они равны по катету и острому углу. Из равенства треугольников следует, что C_1K = CP_3 = 1 . Длина ребра B_1C_1 = BC = 3 . Тогда B_1K = B_1C_1 - KC_1 = 3 - 1 = 2 . Следовательно, отношение \frac{B_1K}{KC_1} = \frac{2}{1} = 2:1 .

б) Сечением является пятиугольник APKQP_1 . Площадь этого сечения можно найти, вычитая из площади вспомогательной трапеции APKP_3 площадь \triangle QP_1P_3 .

Найдём длины сторон трапеции APKP_3 : \triangle CQP_3 , QP_3 = \sqrt{1 + 1} = \sqrt 2 . Следовательно, KQ = \sqrt 2 , поэтому KP_3 = 2\sqrt 2 . P — середина A_1B_1 , A_1P = \frac{1}{2}AB = 2 . В \triangle AA_1P : AP = \sqrt{AA_1^2 + A_1P^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2} . B_1P = 2 , B_1K = 2 . В \triangle PB_1K : PK = \sqrt{PB_1^2 + B_1K^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2} . В \triangle ABP_3 : BP_3 = BC+CP_3 = 3+1=4 . AP_3 = \sqrt{AB^2 + BP_3^2} = \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2} . APKP_3 является равнобокой трапецией, так как AP=KP_3 . Найдём её площадь. Основания: PK=2\sqrt{2} , AP_3 = 4\sqrt{2} . Боковая сторона AP=2\sqrt{2} . Провеведем высоты PH_1 и KH_2 (рис. 16).

Stereo_2_38_s

Рис. 16: К примеру 3.9

AH_1 = \frac{1}{2} (AP_3 - PK) = \frac{1}{2} \left( 4 \sqrt 2 - 2 \sqrt 2 \right) = \sqrt 2 . Высота трапеции: PH_1 = \sqrt{AP^2 - AH_1^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2} = \sqrt{6} . Площадь трапеции S_{APKP_3} = \frac{PK+AP_3}{2}PH_1 = \frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\sqrt{6} = 6\sqrt{3} .

Чтобы получить искомую площадь сечения, из площади этой трапеции нужно вычесть площадь \triangle P_1QP_3 . \triangle P_1QP_3 равносторонний со стороной \sqrt{2} , его площадь S_{\triangle} = \frac{(\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} . Искомая площадь сечения: S_{сеч} = S_{APKP_3} - S_{\triangle P_1QP_3} = 6\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11\sqrt{3}}{2}.

Ответ: б) \frac{11\sqrt{3}}{2} .

Задача 3.10

На ребре BB_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка F так, что B_1F:FB = 1:6 . Точка T — середина ребра B_1C_1 . Известно, что AB = 6\sqrt{2} , AD = 12 , AA_1 = 14 .

Докажите, что плоскость FTD_1 делит ребро AA_1 в отношении 2:5 .

Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью FTD_1 .

Решение.

а) Построим сечение параллелепипеда плоскостью (FTD_1) . Точки F и T принадлежат грани BB_1C_1 , соединим их (рис. 17).

Stereo_2_39_s

Рис. 17: К задаче 3.10

Поскольку боковые грани (AA_1D_1D) и (BB_1C_1C) параллельны, то секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Проведем P_1D_1 \parallel FT . \angle B_1TF = \angle A_1D_1P_1 как углы с сонаправленными сторонами. \triangle P_1A_1D_1 \sim \triangle FB_1T по двум углам. Из подобия следует отношение сторон: \frac{P_1A_1}{FB_1} = \frac{A_1D_1}{B_1T} Найдём длины отрезков из условия: AA_1 = 14 и B_1F:FB = 1:6 , значит FB_1 = \frac{1}{7}AA_1 = \frac{1}{7} \cdot 14 = 2 . T — середина B_1C_1 и B_1C_1 = AD = 12 , значит B_1T = 6 . A_1D_1 = AD = 12 .

Подставим значения в пропорцию: \frac{P_1A_1}{2} = \frac{12}{6} \implies P_1A_1 = 2 \cdot 2 = 4 Тогда AP_1 = AA_1 - P_1A_1 = 14 - 4 = 10 . Искомое отношение: \frac{P_1A_1}{AP_1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} , то есть 2:5 .

б) Сечением является трапеция P_1FTD_1 , так как P_1D_1 \parallel FT . Найдём её площадь. Для этого вычислим длины оснований и высоту. Основание FT . В прямоугольном \triangle FB_1T : FT = \sqrt{FB_1^2 + B_1T^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}. Основание P_1D_1 . В прямоугольном \triangle P_1A_1D_1 : P_1D_1 = \sqrt{P_1A_1^2 + A_1D_1^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} =4\sqrt{10}. Для нахождения высоты трапеции найдём длины боковых сторон и одной из диагоналей. Боковая сторона P_1F . Расстояние между параллельными прямыми AA_1 и BB_1 равно AB = 6\sqrt{2} . Разность высот точек P_1 и F равна AF - AP_1 = (14-2) - 10 = 2 . P_1F = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (12-10)^2} = 2\sqrt{19}. Диагональ FD_1 . В \triangle B_1FD_1 : FD_1 = \sqrt{B_1F^2+B_1D_1^2} = \sqrt{2^2 + (6\sqrt{2})^2+12^2} = 2\sqrt{55}. Высоту трапеции FH найдём как высоту треугольника \triangle P_1FD_1 , опущенную из вершины F на прямую P_1D_1 (рис. 18).

Stereo_2_40_s

Рис. 18: К задаче 3.10

По теореме косинусов для \triangle P_1FD_1 : \cos(\angle FP_1D_1) = \frac{P_1F^2+P_1D_1^2-FD_1^2}{2 \cdot P_1F \cdot P_1D_1} = \frac{1}{\sqrt{190}}, \sin(\angle FP_1D_1) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle FP_1D_1)} = \sqrt{1 - \frac{1}{190}} = \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{190}}. Высота трапеции FH = P_1F \cdot \sin(\angle FP_1D_1) = 2\sqrt{19} \cdot \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{190}} = \frac{6\sqrt{21}}{\sqrt{10}} . Площадь трапеции S_{P_1FTD_1} : S = \frac{P_1D_1+FT}{2} \cdot FH = \frac{4\sqrt{10}+2\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{6\sqrt{21}}{\sqrt{10}} = 18\sqrt{21}.

Ответ: б) 18\sqrt{21} .