Куб. Расстояние: от точки до плоскости, от точки до прямой, между прямыми и смешанные задачи.: Часть 1

Видео

Конспект

Расстояние от точки до плоскости

Пример 2.20

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с единичным ребром. Найдите расстояние от точки B до плоскости A B_1 C .

Stereo_2_23 Рис. 1: К примеру 2.20

Решение.

Найдем расстояние от точки B до плоскости AB_1C как высоту тетраэдра B_1ABC , опущенную из точки B (рис. 1). Ее можно найти, зная площадь основания и объем тетраэдра. Объем тетраэдра \displaystyle V = \frac{1}{3} BB_1 \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} . С другой стороны, \displaystyle V = \frac{1}{3} h \cdot S_{AB_1C} = \frac{1}{3} h \cdot \frac{2\sqrt 3}{4} = \frac{\sqrt{3}}{6} , где h — искомое расстояние. Приравнивая два выражения для объема, получаем, что \displaystyle h = \frac{\sqrt 3}{3} .

Ответ: \displaystyle \frac{\sqrt 3}{3} .

Задача 2.21

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с единичным ребром. Найдите расстояние от точки B до плоскости A M C , где точка M — середина ребра BB_1 .

Решение.

Построим сечение куба плоскостью (AMC) (рис. 2).

Покажем, что высота BH , проведенная из вершины B к гипотенузе MO в прямоугольном треугольнике \triangle BMO , является искомым расстоянием.

Для этого докажем, что BH \perp (AMC) .

Пусть O — точка пересечения диагоналей основания AC и BD .

В основании ABCD диагонали квадрата перпендикулярны: AC \perp BD .

Ребро BB_1 перпендикулярно плоскости основания (ABC) , следовательно, BB_1 \perp AC .

Так как прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым ( BD и BB_1 ) в плоскости (MBO) , то AC \perp (MBO) .

Отсюда следует, что AC перпендикулярна любой прямой в плоскости (MBO) , в том числе и высоте BH , то есть BH \perp AC .

По построению BH является высотой в \triangle BMO , значит BH \perp MO .

Поскольку прямая BH перпендикулярна двум пересекающимся прямым ( AC и MO ) в плоскости (AMC) , то BH перпендикулярна плоскости (AMC) . Длина BH и есть искомое расстояние.

Найдем длину BH из площади треугольника \triangle BMO .

\triangle BMO — прямоугольный, так как \angle MBO = 90^\circ (поскольку BB_1 \perp (ABC) ).

Катет BM = 1/2 (по условию).

Катет BO = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{1^2+1^2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

По теореме Пифагора найдем гипотенузу MO : MO = \sqrt{BM^2 + BO^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Площадь \triangle BMO можно выразить двумя способами: S_{BMO} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8} S_{BMO} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BH

Приравнивая два выражения для площади, находим BH : \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BH = \frac{\sqrt{2}}{8} \implies BH = \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}

Stereo_2_18_s Рис. 2: К задаче 2.21

Ответ: \displaystyle \frac{\sqrt 6}{6} .

Задача 2.22

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с единичным ребром. Найдите расстояние от середины ребра BB_1 до плоскости A B_1 C . Решение.

Пусть M — середина ребра BB_1 . Искомое расстояние — длина перпендикуляра MH_1 , опущенного из точки M на плоскость (AB_1C) (рис. 3).

Для решения задачи сначала найдем расстояние от точки B до плоскости (AB_1C) , а затем, используя подобие треугольников, найдем искомое расстояние от точки M .

Рассмотрим плоскость диагонального сечения BB_1D_1D . Пусть O — центр основания ABCD . Плоскость (AB_1C) пересекает плоскость (BB_1D_1D) по прямой B_1O .

Так как AC \perp BD и AC \perp BB_1 , то AC \perp (BB_1D_1D) . Это означает, что плоскость (AB_1C) перпендикулярна плоскости (BB_1D_1D) .

Расстояние от точки B (лежащей в плоскости BB_1D_1D ) до плоскости (AB_1C) равно длине перпендикуляра BH , опущенного из точки B на линию их пересечения B_1O .

Найдем длину BH из площади треугольника \triangle BB_1O .

\triangle BB_1O — прямоугольный, так как BB_1 \perp (ABC) .

Катеты: BB_1=1 , BO = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Гипотенуза B_1O = \sqrt{BB_1^2 + BO^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{2}} .

Площадь S_{BB_1O} = \frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} .

С другой стороны, S_{BB_1O} = \frac{1}{2} \cdot B_1O \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot BH .

Приравнивая площади: \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot BH = \frac{\sqrt{2}}{4} \implies \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot BH = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies BH = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} .

Теперь найдем расстояние MH_1 от точки M до плоскости (AB_1C) . Перпендикуляры BH и MH_1 лежат в одной плоскости (BB_1O) и перпендикулярны одной прямой B_1O .

Треугольники \triangle B_1MH_1 и \triangle B_1BH подобны. Так как M — середина BB_1 , то B_1M = \frac{1}{2} B_1B .

Из подобия следует, что MH_1 = \frac{1}{2} BH . MH_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}

Stereo_2_19_s Рис. 3: К задаче 2.22

Ответ: \displaystyle \frac{\sqrt 3}{6} .

Пример 2.23

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с единичным ребром. Найдите расстояние от точки D до плоскости A B_1 C .

Stereo_2_24 Рис. 4: К примеру 2.23

Stereo_2_25 Рис. 5: К примеру 2.23

Решение.

Пусть O — центр основания куба (рис. 4). Продолжим отрезок B_1O до пересечения с прямой D_1D в точке D_2 (точки B , B_1 , O , D , D_1 лежат в одной плоскости). Отметим, что диагональ основания AC перпендикулярна этой плоскости по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. В \triangle ODD_2 проведем высоту DH (рис. 5). Это будет перпендикуляр из точки D к плоскости AB_1C , поскольку DH \perp B_1O по построению и AC , как было показано выше. Треугольники BB_1O и DD_2O равны по катету и острому углу. Следовательно, \displaystyle DH = \frac{2S_{BB_1O}}{B_1O} = \frac{\sqrt 3}{3} .

Ответ: \displaystyle \frac{\sqrt 3}{3} .