Куб. Расстояние: от точки до плоскости, от точки до прямой, между прямыми и смешанные задачи.: Часть 3

Видео

Конспект

Расстояние от точки до прямой

Пример 2.26

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с единичным ребром. Найдите расстояние от точки B до прямой A_1 D .

Stereo_2_26

Рис. 8: К примеру 2.26

Решение.

Расстояние от точки до прямой определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую (рис. 8). В данной задаче можно построить треугольник A_1BD , в котором искомый перпендикуляр будет высотой. Треугольник A_1BD равносторонний со стороной \displaystyle \sqrt 2 , поэтому высота в равностороннем треугольнике \displaystyle BO = \frac{\sqrt 6}{2} .

Ответ: \displaystyle \frac{\sqrt 6}{2} .

Задача 2.27

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с единичным ребром. Найдите расстояние от середины ребра AB до прямой A_1 D .

Решение.

Пусть M — середина ребра AB (рис. 9). Искомое расстояние — это длина высоты MH , опущенной из точки M на прямую A_1D в треугольнике \triangle A_1MD .

Рассмотрим прямоугольные треугольники \triangle AA_1M и \triangle ADM . Они равны по двум катетам, так как AA_1 = AD = 1 (ребра куба) и катет AM — общий. Следовательно, их гипотенузы равны: A_1M = DM .

Найдем длину A_1M из \triangle AA_1M : A_1M = \sqrt{AA_1^2 + AM^2} = \sqrt{1^2 + (1/2)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}. Таким образом, DM = \frac{\sqrt{5}}{2} .

Треугольник \triangle A_1MD является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота MH , проведенная к основанию A_1D , является также и медианой.

Найдем длину основания A_1D , которое является диагональю грани AA_1D_1D : A_1D = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

Так как H — середина A_1D , то: HD = \frac{1}{2}A_1D = \frac{\sqrt{2}}{2}

Рассмотрим прямоугольный треугольник \triangle MHD . По теореме Пифагора: MH = \sqrt{MD^2 - HD^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Stereo_2_21_s

Рис. 9: К задаче 2.27

Ответ: \displaystyle \frac{\sqrt 3}{2} .

Пример 2.28

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром 2\sqrt{2} . Точки M и T — середины ребер AD и A_1B_1 соответственно.

а) Докажите, что A_1C_1 \perp MT .

б) Найдите расстояние от середины ребра B_1C_1 до прямой MT .

Решение.

а) Доказательство перпендикулярности A_1C_1 и MT .

Введем дополнительную точку N — середину ребра AB (рис. 10). Рассмотрим плоскость (TNM) .

В \triangle ABD отрезок NM соединяет середины сторон AD и AB , следовательно, NM является средней линией. Отсюда NM \parallel BD .

В основании ABCD лежит квадрат, его диагонали перпендикулярны: AC \perp BD . В кубе A_1C_1 \parallel AC , поэтому A_1C_1 \perp BD .

Так как NM \parallel BD и A_1C_1 \perp BD , то по свойству параллельных прямых получаем, что A_1C_1 \perp NM .

Отрезок TN соединяет середины параллельных отрезков A_1B_1 и AB . Следовательно, TN \parallel AA_1 . Ребро AA_1 перпендикулярно плоскости основания (A_1B_1C_1) , а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе A_1C_1 .

Поскольку TN \parallel AA_1 и AA_1 \perp A_1C_1 , то и TN \perp A_1C_1 .

Прямая A_1C_1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым NM и TN в плоскости (TNM) . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости A_1C_1 \perp (TNM) .

Прямая MT лежит в плоскости (TNM) ( M \in (TNM), T \in (TNM) ). Следовательно, A_1C_1 \perp MT , что и требовалось доказать.

б) Нахождение расстояния.

Пусть точка K — середина ребра B_1C_1 . Искомое расстояние — это расстояние от точки K до прямой MT .

В \triangle A_1B_1C_1 отрезок TK соединяет середины сторон A_1B_1 и B_1C_1 . Значит, TK — средняя линия треугольника, и TK \parallel A_1C_1 .

Из пункта (а) мы знаем, что A_1C_1 \perp MT . Так как TK \parallel A_1C_1 , то и TK \perp MT .

Это означает, что длина отрезка TK является расстоянием от точки K до прямой MT .

Найдем длину TK . Сначала найдем длину диагонали грани A_1C_1 . Сторона квадрата A_1B_1C_1D_1 равна a = 2\sqrt{2} . A_1C_1 = a\sqrt{2} = (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 4.

Так как TK — средняя линия \triangle A_1B_1C_1 , ее длина равна половине основания A_1C_1 : TK = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2.

Stereo_2_81

Рис. 10: К примеру 2.28

Ответ: б) 2 .