Пирамиды. Построение сечений. Площадь сечения: Часть 1

Видео

Конспект

Пирамиды

Построение сечений. Площадь сечения

Пример 5.1

Докажите стереометрическую теорему Менелая: В произвольном тетраэдре KLMN точки A , B , C и D принадлежат ребрам KN , NL , LM и MK соответственно. Для того, чтобы точки A , B , C и D принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее равенство: \frac{KA}{AN} \cdot \frac{NB}{BL} \cdot \frac{LC}{CM} \cdot \frac{MD}{DK} = 1.

\label{Menelay}

Stereo_2_86_s

Рис. 1: К примеру 5.1

Доказательство.

Необходимость. Пусть A, B, C, D лежат в одной плоскости \alpha , которая является сечением тетраэдра (рис. 1). Проведем из вершин тетраэдра перпендикуляры KK_1, LL_1, MM_1, NN_1 на плоскость \alpha .

Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники \triangle AKK_1 и \triangle ANN_1 . Они подобны по двум углам (один угол прямой, второй — вертикальный). Из подобия следует: \frac{KA}{AN} = \frac{KK_1}{NN_1} Аналогично, рассматривая пары подобных треугольников, получаем следующие равенства: \frac{NB}{BL} = \frac{NN_1}{LL_1}, ~~\frac{LC}{CM} = \frac{LL_1}{MM_1}, ~~\frac{MD}{DK} = \frac{MM_1}{KK_1}. Перемножая левые и правые части этих четырех равенств, имеем: \frac{KA}{AN} \cdot \frac{NB}{BL} \cdot \frac{LC}{CM} \cdot \frac{MD}{DK} = \frac{KK_1}{NN_1} \cdot \frac{NN_1}{LL_1} \cdot \frac{LL_1}{MM_1} \cdot \frac{MM_1}{KK_1} = 1. Что и требовалось доказать.

Достаточность. Предположим, что выполняется равенство (Минилая), но точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Проведем через точки B, C, D плоскость (назовем ее \sigma ), которая пересечет ребро KN в некоторой точке A_1 , отличной от точки A (в силу сделанного выше предположения). Для точек A_1, B, C, D , лежащих в одной плоскости \sigma , по доказанному в части <<Необходимость>>, должно выполняться равенство: \frac{KA_1}{A_1N} \cdot \frac{NB}{BL} \cdot \frac{LC}{CM} \cdot \frac{MD}{DK} = 1. Сравнивая это равенство с исходным равенством (Минилая), получаем, что \frac{KA}{AN} = \frac{KA_1}{A_1N}. Так как точка A и A_1 делят отрезок KN в одном и том же отношении, они должны совпадать: A = A_1 . Это противоречит нашему предположению, что A_1 отлична от A . Следовательно, наше предположение было ложно, и точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

Пример 5.2

Объем тетраэдра ZABC равен 5 . Через середины ребер ZA и BC проведена плоскость, пересекающая ребро ZC в точке M . При этом отношение длины отрезка ZM к длине отрезка MC равно \displaystyle \frac{2}{3} . Найдите площадь сечения тетраэдра указанной плоскостью, если расстояние до нее от вершины A равно 1 .

Stereo_2_87_s

Рис. 2: К примеру 5.2

Решение.

Пусть K — середина ZA , P — середина BC . Плоскость сечения проходит через точки K, P, M и пересекает ребро AB в точке L (рис. 2). Сечение является четырехугольником KMPL .

Согласно пространственной теореме Менелая для \triangle ZBC и секущей плоскости KPL (рассматривая ее пересечение с плоскостью ZAB ): \frac{AK}{KZ} \cdot \frac{ZM}{MC} \cdot \frac{CP}{PB} \cdot \frac{BL}{LA} = 1 По условию: K — середина ZA \implies \frac{AK}{KZ}=1 ; P — середина BC \implies \frac{CP}{PB}=1 ; \frac{ZM}{MC} = \frac{2}{3} . Подставляем известные значения: 1 \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \frac{BL}{LA} = 1 \implies \frac{BL}{LA} = \frac{3}{2}. Отсюда следует, что точка L делит ребро AB в отношении AL:LB = 2:3 .

Пусть высота тетраэдра ZABC , опущенная из вершины Z на основание ABC , равна H , а площадь основания S_{ABC}=S . Тогда объем тетраэдра V = \frac{1}{3}HS = 5 \implies HS = 15 .

Найдем объем пирамиды MAPL . Эту пирамиду можно разбить на две: A-KML и A-PML . Высота пирамиды MAPL , опущенная из вершины M на плоскость ABC , составляет \frac{MC}{ZC} от высоты H тетраэдра ZABC . Так как \frac{ZM}{MC}=\frac{2}{3} , то \frac{MC}{ZC} = \frac{MC}{ZM+MC} = \frac{3z}{2z+3z} = \frac{3}{5} . Высота h_M = \frac{3}{5}H . Площадь основания S_{APL} : P — середина BC , значит AP — медиана в \triangle ABC , и S_{APB} = \frac{1}{2}S_{ABC} = \frac{1}{2}S . Точка L делит AB так, что AL = \frac{2}{5}AB . Тогда S_{APL} = \frac{AL}{AB}S_{APB} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}S = \frac{1}{5}S . Отсюда V_{MAPL} = \frac{1}{3}h_M \cdot S_{APL} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{5}H\right) \cdot \left(\frac{1}{5}S\right) = \frac{1}{25}HS = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}. Найдем V_{MAKL} . Высота пирамиды MAKL , опущенная из M на плоскость ZAB , составляет \frac{MZ}{ZC}=\frac{2}{5} от высоты тетраэдра, опущенной из C на плоскость ZAB ( h_C ). Площадь основания S_{AKL} : K — середина ZA , L делит AB так, что AL=\frac{2}{5}AB . S_{AKL} = \frac{AK}{ZA}\frac{AL}{AB}S_{ZAB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} S_{ZAB} = \frac{1}{5}S_{ZAB} . V_{MAKL} = \frac{1}{3}h_M \cdot S_{AKL} = \frac{1}{3} \left(\frac{3}{5}h_C\right) \left(\frac{1}{5}S_{ZAB}\right) = \frac{1}{25} \left(\frac{1}{3}h_C S_{ZAB}\right) = \frac{1}{5}. Тогда объем пирамиды с вершиной A и основанием KMPL : V_{AKMPL} = V_{AKML} + V_{APML} = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1. С другой стороны, объем пирамиды AKMPL можно вычислить по формуле: V_{AKMPL} = \frac{1}{3} S_{KMPL} \cdot h_A, где h_A — расстояние от точки A до плоскости сечения KMPL , которое по условию равно 1 . 1 = \frac{1}{3} \cdot S_{KMPL} \cdot 1 \Longrightarrow S_{KMPL} = 3.

Ответ: S_{KMPL} = 3 .