Пирамиды. Построение сечений. Площадь сечения: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 5.3

МГУ, физический ф-т, 1978 (июль), № 5(6).

Дана правильная треугольная пирамида DABC ( D — вершина). Известно, что AB = a , AD = a\sqrt 2 . Пирамиду пересекает плоскость, параллельная ребрам AD и BC и отстоящая на расстоянии d от ребра AD . Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Stereo_2_45

Рис. 3: К примеру 5.3

Решение.

Искомое сечение — прямоугольник, так как его стороны параллельны скрещивающимся ребрам правильной пирамиды, а они в такой пирамиде взаимно перпендикулярны (рис. 3). Пусть AF = x . Найдем стороны прямоугольника. Пусть EF\perp AD и пересекает плоскость сечения в точке P , тогда PF=d . Из равнобедренного треугольника BDC найдем \displaystyle DE^2=DC^2-CE^2=2a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{7a^2}{4} . Обозначим AF=x , из двух прямоугольных треугольников AFE и DFE имеем \displaystyle AE^2-AF^2=DE^2-FD^2\Longleftrightarrow \frac{3a^2}{4}-x^2=\frac{7a^2}{4}-(a\sqrt 2-x)^2\Longleftrightarrow x=\frac{a}{2\sqrt 2}. Из \triangle AFE получаем \displaystyle FE=\sqrt {\frac{3a^2}{4}-x^2}=a\sqrt { \frac{5}{8}} . Из подобия треугольников AMN и ABC имеем \displaystyle \frac{MN}{BC}= \frac{AL}{AE} \vphantom{\int} . Из подобия другой пары треугольников AFE и LPE : \displaystyle \frac{EL}{AE}=\frac{EP}{FE} \vphantom{\int} , откуда \begin{gathered}

\displaystyle \frac{MN}{BC}=\frac{EP}{FE} \Longleftrightarrow MN = BC \cdot \frac{AL}{AE} = BC \cdot \frac{AE-EL}{AE} = \\

= BC \cdot \left( 1 - \frac{EL}{AE} \right) = {a}\left( 1 - \frac{a\sqrt{\frac{5}{8}} - d}{a\sqrt{\frac{5}{8}}}\right) = d\sqrt{ \frac{8}{5}}.

\end{gathered} Найдем вторую сторону прямоугольника. \triangle KLE \sim \triangle ADE , откуда \displaystyle \frac{KL}{AD}=\frac{PE}{FE}\Longleftrightarrow \frac{KL}{a\sqrt 2}=\frac {a\sqrt{\frac{5}{8}}-d}{a\sqrt{\frac{5}{8}}}\Longleftrightarrow KL=\frac{4}{\sqrt 5}\left(a\sqrt{\frac{5}{8}}-d\right). В итоге площадь сечения S равна \displaystyle MN\cdot KL=\frac{4}{5}d \left(a\sqrt5 - d\sqrt 8 \right) .

Ответ: \displaystyle \frac{4}{5} d \left(a\sqrt 5 - d \sqrt 8 \right) \vphantom{\int} .