Пирамиды. Построение сечений. Площадь сечения

Пример 5.3 МГУ, физический ф-т, 1978 (июль), № 5(6). Дана правильная треугольная пирамида $DABC$ ($D$ — вершина). Известно, что $AB = a$, $AD = a\sqrt 2$. Пирамиду пересекает плоскость, параллельная ребрам $AD$ и $BC$ и отстоящая на расстоянии $d$ от ребра $AD$. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью. Рис. 3: К примеру 5.3 Решение. Искомое сечение — прямоугольник, так как его стороны параллельны скрещивающимся ребрам правильной пирамиды, а они в такой пирамиде взаимно перпендикулярны (рис. 3). Пусть $AF = x$. Найдем стороны прямоугольника. Пусть $EF\perp AD$ и пересекает плоскость сечения в точке $P$, тогда $PF=d$. Из равнобедренного треугольника $BDC$ найдем $\displaystyle DE^2=DC^2-CE^2=2a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{7a^2}{4}$. Обозначим $AF=x$, из двух прямоугольных треугольников $AFE$ и $DFE$ имеем $$\displaystyle AE^2-AF^2=DE^2-FD^2\Longleftrightarrow \frac{3a^2}{4}-x^2=\frac{7a^2}{4}-(a\sqrt 2-x)^2\Longleftrightarrow x=\frac{a}{2\sqrt 2}.$$ Из $\triangle AFE$ получаем $\displaystyle FE=\sqrt {\frac{3a^2}{4}-x^2}=a\sqrt { \frac{5}{8}}$. Из подобия треугольников $AMN$ и $ABC$ имеем $\displaystyle \frac{MN}{BC}= \frac{AL}{AE} \vphantom{\int}$. Из подобия другой пары треугольников $AFE$ и $LPE$: $\displaystyle \frac{EL}{AE}=\frac{EP}{FE} \vphantom{\int}$, откуда $$\begin{gathered} \displaystyle \frac{MN}{BC}=\frac{EP}{FE} \Longleftrightarrow MN = BC \cdot \frac{AL}{AE} = BC \cdot \frac{AE-EL}{AE} = \\ = BC \cdot \left( 1 - \frac{EL}{AE} \right) = {a}\left( 1 - \frac{a\sqrt{\frac{5}{8}} - d}{a\sqrt{\frac{5}{8}}}\right) = d\sqrt{ \frac{8}{5}}. \end{gathered}$$ Найдем вторую сторону прямоугольника. $\triangle KLE \sim \triangle ADE$, откуда $$\displaystyle \frac{KL}{AD}=\frac{PE}{FE}\Longleftrightarrow \frac{KL}{a\sqrt 2}=\frac {a\sqrt{\frac{5}{8}}-d}{a\sqrt{\frac{5}{8}}}\Longleftrightarrow KL=\frac{4}{\sqrt 5}\left(a\sqrt{\frac{5}{8}}-d\right).$$ В итоге площадь сечения $S$ равна $\displaystyle MN\cdot KL=\frac{4}{5}d \left(a\sqrt5 - d\sqrt 8 \right)$. Ответ: $\displaystyle \frac{4}{5} d \left(a\sqrt 5 - d \sqrt 8 \right) \vphantom{\int}$.