Пирамиды. Построение сечений. Площадь сечения

Пример 5.6 МГУ, физический ф-т, 1981 (июль), № 5(6). Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра. Рис. 7: К примеру 5.6 Решение. Пусть основание пирамиды $ABCD$, вершина $S$, точка $O$ — центр основания (рис. 7). Опустим перпендикуляр из точки $A$ на ребро $SC$, по условию сечение проходит через эту прямую. Пусть угол $SCO=\alpha$, $SC=l$. Тогда $AC=2\cdot OC=2l\cos \alpha$; $NC=AC\cdot \cos \alpha=2l\cos^2 \alpha$; $SN=SC-CN=l(1-2\cos^2\alpha)$. Далее, в правильной пирамиде $SABCD$ ребро $SC\perp BD$ по теореме о трех перпендикулярах ($OC$ — проекция $SC$ на основание — перпендикулярна $BD$). Отсюда плоскость сечения, перпендикулярная $SC$, параллельна прямой $BD$, эта плоскость пересекает плоскость $SBD$ по прямой $KL\parallel BD$. Пусть высота пирамиды $SO$ пересекает плоскость сечения в точке $M \in KL$. Треугольник $SNM$ — прямоугольный, $\angle SMN=\angle SCA$, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Тогда $\displaystyle SM=\frac{SN}{\sin \alpha}=l\frac{1-2\cos^2\alpha}{\sin \alpha} \vphantom{\int}$. Таким образом, сечение есть четырехугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями $AN$ и $KL$. $$AN=AC\cdot \sin \alpha=2l\cos\alpha\sin\alpha,$$ а из $\triangle SML$ имеем $$\displaystyle KL=2ML=2SM\ctg \alpha=2l\frac{1-2\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin \alpha}.$$ Тогда площадь сечения $$\displaystyle S_{сеч}=\frac{1}{2}AN\cdot KL=2l^2(1-2\cos^2\alpha)\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha},$$ а площадь $\displaystyle S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC^2=2l^2\cos^2 \alpha$. По условию $$\displaystyle S_{ABCD}=2S_{сеч}\Longleftrightarrow \cos^2 \alpha=2(1-2\cos^2\alpha)\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\Longleftrightarrow$$ $$ 4\sin^2\alpha-\sin \alpha-2=0.$$ Отсюда $\displaystyle \sin\alpha= \frac{1+\sqrt{33}}{8}$, откуда искомое отношение длин высоты пирамиды и бокового ребра равно $\displaystyle \frac{SO}{SC}=\sin\alpha=\frac{1+\sqrt{33}}{8}$. Ответ: $\displaystyle \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$. Пример 5.7 В правильной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ боковое ребро равно $a$, а двугранный угол при боковом ребре равен $\varphi$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки $B$, $D$ и середину ребра $SC$. Рис. 8: К примеру 5.7 Решение. Пусть точка $N$ — середина ребра $SC$, точка $O$ — проекция точки $S$ на плоскость $ABC$ (рис. 8). Сечением, проходящем через заданные точки, является $\triangle BND$. В прямоугольном $\triangle SOC$ $ON$ — медиана, поэтому она равна половине гипотенузы: $\displaystyle ON=\frac{a}{2}$. В рассматриваемом сечении $BND$ $ON$ — высота, поэтому для осталось найти $BD$. Опустим перпендикуляр $DK$ на ребро $SC$. $BK$ также является перпендикуляром к $SC$, поэтому $\angle BKD=\varphi$. Найдем сначала $DK$ из $\triangle SDC$. Пусть $DC = b$. Запишем площадь $SDC$ двумя способами: $$ S_{SDC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot b\cdot\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}\Longleftrightarrow BK=b\sqrt{1-\frac{b^2}{4a^2}}. $$ Далее из равнобедренного $\triangle BKD$ получаем $$ \displaystyle b\frac{\sqrt 2}{2}=b\sqrt{1-\frac{b^2}{4a^2}}\sin{\frac{\varphi}{2}} \Longleftrightarrow b=a\sqrt 2 \sqrt {1-\ctg^2\frac{\varphi}{2}}. $$ В итоге, $\displaystyle S_{BND}=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot ON=\frac{a^2}{2}\sqrt {1-\ctg^2\frac{\varphi}{2}}$. Ответ: $\displaystyle \frac{a^2}{2} \sqrt{1 - \ctg^2 \frac{\varphi}{2}}$.