Пирамиды. Решение правильных пирамид.: Часть 1

Видео

Конспект

Пример 5.35

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA равно 11 , а сторона основания AB равна 8 . На ребрах BC и SC отмечены точки M и K соответственно, причем BM =5 , CK = 3 .

а) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости ABC .

б) Найдите, в каком отношении плоскость MKD делит объем пирамиды SABCDEF .

Stereo_2_114_s Рис. 1: К примеру 5.35

Решение.

а) Соединим M и D . Пусть P — точка пересечения MD и CO (где O — центр основания) (рис. 1). \triangle MPC \sim \triangle DPO по двум углам. CM = BC-BM = 8-5=3 . OD=8 (радиус описанной окружности), следовательно, \frac{CP}{PO} = \frac{CM}{OD} = \frac{3}{8}. Рассмотрим плоскость (SCO) . Прямая KP лежит в ней. В \triangle SCO имеем \frac{CP}{PO}=\frac{3}{8} . На ребре SC точка K такова, что CK=3 . SC=SA=11 , значит KS=8 . \frac{CK}{KS} = \frac{3}{8} . По теореме, обратной теореме Фалеса, для \triangle SCO и прямой KP : \frac{CK}{KS} = \frac{CP}{PO} = \frac{3}{8} \implies KP \parallel SO. Так как SO — высота пирамиды и SO \perp (ABC) , то и параллельная ей прямая KP также перпендикулярна плоскости (ABC) . Поскольку плоскость (MKD) содержит прямую KP , перпендикулярную плоскости (ABC) , то по признаку перпендикулярности плоскостей (MKD) \perp (ABC) .

б) Найдем объем пирамиды KMCD ( V_1 ). Основание — \triangle MCD . Высота — KP . S_{CMD} = S_{BCD} - S_{BCM} . BC=CD=8, CM=3 . \angle BCD = 120^\circ . S_{CMD} = \frac{1}{2} MC \cdot CD \sin 120^\circ = \frac{1}{2} 3 \cdot 8 \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}. \triangle CKP \sim \triangle CSO . Коэффициент подобия k = \frac{CK}{CS} = \frac{3}{11} . KP = k \cdot SO = \frac{3}{11}SO. V_{KMCD} = V_1 = \frac{1}{3} S_{MCD} \cdot KP = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{3}{11}SO = \frac{6\sqrt{3}}{11}SO. Теперь найдем объем всей пирамиды V_{SABCDEF} = \frac{1}{3} S_{ABCDEF} \cdot SO = 32\sqrt{3} \cdot SO. Найдем отношение объемов: \frac{V_{KMCD}}{V_{SABCDEF}} = \frac{6\sqrt{3} \cdot SO / 11}{32\sqrt{3} \cdot SO} = \frac{3}{176}. Объем V_1 = \frac{3}{176}V_{SABCDEF} . Объем второй части \displaystyle V_2 = V_{SABCDEF} - V_1 = \left(1 - \frac{3}{176} \right)V_{SABCDEF} = \frac{173}{176}V_{SABCDEF}. Искомое отношение: \frac{V_1}{V_2} = \frac{3/176}{173/176} = \frac{3}{173}.

Ответ: \displaystyle \frac{3}{173} .

Задача 5.36

ЕГЭ-2020, основной вариант, № 14.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 6 , а боковое ребро SA = 5 . На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM = 2 , SK = 1 .

а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC .

б) Найдите объем пирамиды BCKM .

Stereo_2_115_s Рис. 2: К задаче 5.36

Решение.

а) Пусть P — точка пересечения CM и BD (рис. 2). Рассмотрим \triangle BPM и \triangle DPC . Они подобны по двум углам. AM=2 , AB=6 \implies BM=4 , DC=6 , \frac{BP}{PD} = \frac{BM}{DC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \implies 3BP = 2PD. Так как BP+PD=BD , то BP + \frac{3}{2}BP = BD \implies \frac{5}{2}BP = BD \implies BP = \frac{2}{5}BD . O — центр основания, BO=\frac{1}{2}BD , тогда BP = \frac{4}{5}BO .

Рассмотрим \triangle SBD . Точка K на ребре SB такова, что SK=1, SB=5 \implies BK=4 , \frac{BK}{BS} = \frac{4}{5} . В \triangle SBO прямые KP и SO отсекают пропорциональные отрезки на сторонах SB и BO : \frac{BK}{BS} = \frac{4}{5} \quad и \quad \frac{BP}{BO} = \frac{4}{5}. По теореме, обратной теореме Фалеса, прямые KP и SO параллельны, KP \parallel SO . Так как SO — высота пирамиды и SO \perp (ABC) , то и KP \perp (ABC) . Поскольку плоскость (CKM) содержит прямую KP , перпендикулярную плоскости (ABC) , то по признаку перпендикулярности плоскостей (CKM) \perp (ABC) .

б) Найдем высоту пирамиды SO . BO = \frac{1}{2}BD = 3\sqrt{2} . В прямоугольном \triangle BSO : SO = \sqrt{BS^2 - BO^2} = \sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{7}. Рассмотрим \triangle BKP и \triangle BSO . Они подобны по двум углам, так как KP \parallel SO . \frac{KP}{SO} = \frac{BK}{BS} \implies \frac{KP}{\sqrt{7}} = \frac{4}{5} \implies KP = \frac{4}{5}\sqrt{7}. Площадь основания \triangle BCM : S_{BCM} = \frac{1}{2} BC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12. Объем пирамиды KBCM : V_{BCKM} = \frac{1}{3} S_{BCM} \cdot KP = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \frac{4\sqrt{7}}{5} = \frac{16\sqrt{7}}{5}.

Ответ: \displaystyle \frac{16 \sqrt 7}{5} .