Пирамиды. Решение правильных пирамид.: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 5.37

ЕГЭ-2022, основной вариант, Восток, № 13.

Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD , точка N лежит на стороне основания BC . Плоскость \alpha проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA .

а) Плоскость \alpha пересекает ребро DS в точке L . Докажите, что BN:NC=DL:LS .

б) Пусть BN:NC = 1:2 . Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость \alpha разбивает пирамиду.

Stereo_2_116_s

Рис. 3: К примеру 5.37

Решение.

а) Построим сечение пирамиды плоскостью \alpha . Соединим M и N . Так как \alpha \parallel SA , то \alpha пересечет плоскость (ASC) по средней линии (так как M — середина SC ) (рис. 3). Соединим точки N и O , продлим NO до пересечения с AD в точке P . Так как грань ASD содержит AS , то сечение \alpha пересекает ее по прямой PL \parallel AS . \triangle BON = \triangle DOP по стороне и двум углам, \implies PD=BN . По обобщенной теореме Фалеса для \angle ADC : \frac{DL}{LS} = \frac{DP}{PA} = \frac{BN}{NC} . Так как DP=BN и PA=NC .

б) Продлим NP , CD и ML до их пересечения в точке Q . Пусть высота пирамиды SABCD равна h , сторона основания AB=a . \triangle PDQ \sim \triangle NCQ \implies \frac{QD}{QC} = \frac{PD}{NC} = \frac{a/3}{2a/3} = \frac{1}{2} \implies QC = 2QD \implies QD=a . S_{BCQ} = \frac{1}{2} NC \cdot CQ = \frac{1}{2} \frac{2}{3}a \cdot 2a = \frac{2a^2}{3} . Высота пирамиды NNCQ равна \frac{1}{2}h . Высота пирамиды LPDQ равна \frac{1}{3}h . V_{MNCQ} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}h \cdot \frac{2a^2}{3} = \frac{1}{9}ha^2 . S_{PDQ} = \frac{1}{9}h \cdot \frac{1}{3}a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{54}ha^2 .

Объем отсеченной части V_2 = V_{BCDNML} = V_{NMCQ} - V_{LPDQ} = \frac{1}{9}ha^2 - \frac{1}{54}ha^2 = \frac{5}{54}ha^2 . Объем всей пирамиды V = \frac{1}{3}ha^2 . V_1 = V-V_2 = \frac{1}{3}ha^2 - \frac{5}{54}ha^2 = \frac{13}{54}ha^2 . Искомое отношение: \frac{V_2}{V_1} = \frac{5ha^2/54}{13ha^2/54} = \frac{5}{13}.

Ответ: б) 5:13 .