Пирамиды. Решение правильных пирамид.: Часть 3

Видео

Конспект

Решение правильных пирамид

Stereo_2_117_s

Рис. 4: Правильная треугольная пирамида

Основные элементы правильной треугольной пирамиды

AB=BC=AC=a — сторона основания

SA=SB=SC=b — боковое ребро

SH=h — высота

SD=k — апофема (высота боковой грани)

\angle SAD = \alpha — угол между боковым ребром и плоскостью основания

\angle SDB = \beta — двугранный угол при ребре основания

\angle CSB = \gamma — плоский угол при вершине

\varphi — двугранный угол между боковыми гранями

r — радиус вписанной сферы

R — радиус описанной сферы

Отметим, что правильная пирамида полностью определяется двумя параметрами (то есть по ним можно определить все остальные). Пусть пирамида задана стороной основания a и высотой h . Найдем все остальные элементы.

\triangle ABC — правильный. Медиана AD = AC \sin 60^\circ = a \frac{\sqrt{3}}{2} . H — центр \triangle ABC , точка пересечения медиан. AH = \frac{2}{3}AD = \frac{a}{\sqrt{3}} . HD = \frac{1}{3}AD = \frac{a\sqrt{3}}{6} .

В \triangle ASH : \tg\alpha = \frac{SH}{AH} = \frac{h}{a/\sqrt{3}} = \frac{h\sqrt{3}}{a}

\Longrightarrow \alpha = \arctan\left(\frac{h\sqrt{3}}{a}\right).

b = AS = \sqrt{SH^2 + AH^2} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{3}} .

В \triangle DSH : \tg\beta = \frac{SH}{HD} = \frac{h}{a\sqrt{3}/6} = \frac{2h\sqrt{3}}{a}\Longrightarrow \beta = \arctan\left(\frac{2h\sqrt{3}}{a}\right).

h_a = SD = \sqrt{SH^2 + HD^2} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} .

b \sin\alpha = h_a \sin\beta = h .

В \triangle CSD : \tg\frac{\gamma}{2} = \frac{CD}{DS} = \frac{a/2}{h_a} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{12h^2+a^2}}\Longrightarrow \gamma = 2\arctan\left(\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{12h^2+a^2}}\right).

Угол \varphi : \triangle AED , ED = AD\sin \alpha = \frac{a\sqrt 3}{2} \sin \alpha , \sin\alpha = \frac{\tg\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} = \frac{h\sqrt{3}/a}{\sqrt{1+3h^2/a^2}} = \frac{h\sqrt{3}}{\sqrt{a^2+3h^2}}.

\tg\frac{\varphi}{2} = \frac{CD}{ED} = \frac{\sqrt 3}{3\sin \alpha} = \frac{\sqrt{a^2 + 3h^2}}{3h} \Longrightarrow \varphi = 2\arcsin\frac{\sqrt{a^2+3h^2}}{3h}.

Радиус вписанной сферы r . Центр O_1 вписанной сферы лежит на биссектрисе линейного \angle SDH двугранного угла с ребром SB (рис. 5).

Stereo_2_118_s

Рис. 5: Правильная треугольная пирамида

\triangle O_1ES \sim \triangle DHS \Longrightarrow \frac{O_1S}{S D} = \frac{O_1E_1}{HD} \Longrightarrow \frac{h-r}{h_a} = \frac{6r}{a\sqrt 3} \Longrightarrow r = \frac{ah\sqrt{3}}{6h_a+a\sqrt{3}} = \frac{a( \sqrt{12h^2+a^2}-a )}{12h}.

Радиус описанной сферы R . Центр O_2 описанной сферы равноудален от всех вершин пирамиды, поэтому он лежит на выстоте (точки высоты равноудалены от A , B , C ) \begin{gathered}

R=AO_2 = SO_2 \Longrightarrow AF = FS \Longrightarrow \\

R = O_2S = \frac{FS}{\sin \alpha} = \frac{b}{2\sin\alpha} = \frac{a^2+3h^2}{6h}.

\end{gathered}

Аналогично рассматривается правильная четырехугольная пирамида.