Пирамиды. Углы и расстояния между прямыми в пространстве. Угол между плоскостями: Часть 1

Видео

Конспект

Углы и расстояния между прямыми в пространстве

Пример 5.8

Все ребра правильной пирамиды SABCD с вершиной S равны по 2 . Плоскость, параллельная прямым AC и SB , пересекает ребра AB и BC в точках M и N . Найдите периметр сечения пирамиды этой плоскостью, если MN = \sqrt 2 .

Stereo_2_50 Рис. 1: К примеру 5.8

Stereo_2_51 Рис. 2: К примеру 5.8

Решение.

В данной пирамиде в основании — квадрат, а боковые грани — равносторонние треугольники (рис. 1). По условию точки M и N принадлежат плоскости ABC , значит прямая MN есть линия пересечения основания и плоскости сечения. Треугольники ABC и MBN подобны с коэффициентом подобия \displaystyle \frac{2\sqrt 2}{\sqrt 2}=2 , значит, MN делит диагональ BD в отношении 1:3 , считая от вершины B . При этом M и N — середины ребер AB и BC . По условию плоскость сечения параллельна SB , поэтому она пересекает грани ASB и BSC по прямым, параллельным SB : MK=1 и NL=1 . Далее, плоскость сечения пересекает SD в точке Q , при этом из треугольника BSD в силу параллельности SB плоскости сечения имеем SQ=\frac{1}{4}SD (рис. 2). Значит, длины отрезков KQ и LQ есть длины медиан в равносторонних треугольниках со стороной 1, они равны \displaystyle \frac{\sqrt 3}{2} . В итоге, периметр сечения равен P=MN+MK+NL+KQ+QL=\sqrt 2+2\cdot 1+2\cdot \frac{\sqrt 3}{2}= =\sqrt 2+\sqrt 3 +2. Ответ: \displaystyle 2 + \sqrt 2+ \sqrt 3 .

Задача 5.9

МГУ, физический ф-т, 2001 (март), №6(8).

В правильной треугольной пирамиде SKLM , все ребра которой равны 8a , на ребре SK взята точка A так, что SA:AK = 1:3 . Через точку A проведена плоскость, параллельная ребру SM и высоте KN \triangle KLM . Найдите периметр сечения пирамиды этой плоскостью.

Stereo_2_90_s Рис. 3: К задаче 5.9

Решение.

Построим сечение пирамиды плоскостью \alpha (рис. 3).

Так как \alpha \parallel SM , а грань SKM содержит SM , то \alpha пересечет SKM по прямой AP_1 , параллельной SM , где P_1 \in KM .

Так как \alpha \parallel KN , а плоскость основания KLM содержит KN , то сечение \alpha пересекает KLM по прямой P_1P_2 , параллельной KN , где P_2 \in LM .

Аналогично, сечение \alpha пересекает грань SLM по прямой P_2P_3 , параллельной SM , где P_3 \in SL .

Искомое сечение — трапеция AP_1P_2P_3 . Найдем длины ее сторон.

1. Сторона AP_1 . \triangle KAP_1 \sim \triangle KSM . Из условия SA:AK=1:3 и SK=8a следует, что AK=6a и SA=2a . Коэффициент подобия k_1 = \frac{AK}{SK} = \frac{6a}{8a} = \frac{3}{4} , следовательно, AP_1 = k_1 \cdot SM = \frac{3}{4} \cdot 8a = 6a,~~

KP_1 = k_1 \cdot KM = \frac{3}{4} \cdot 8a = 6a. 2. Сторона P_1P_2 . \triangle MP_1P_2 \sim \triangle MKN . M — середина KL . KM=8a , KP_1=6a , значит P_1M = KM - KP_1 = 8a-6a=2a . Коэффициент подобия k_2 = \frac{P_1M}{KM} = \frac{2a}{8a} = \frac{1}{4} . Высота основания KN = \frac{8a\sqrt{3}}{2} = 4a\sqrt{3} , следовательно, P_1P_2 = k_2 \cdot KN = \frac{1}{4} \cdot 4a\sqrt{3} = a\sqrt{3}. Также MP_2 = k_2 \cdot MN = \frac{1}{4} \cdot 4a = a .

3. Сторона P_2P_3 . \triangle LP_2P_3 \sim \triangle LSM . LM=8a , LP_2 = LM-MP_2=8a-a=7a . Коэффициент подобия k_3 = \frac{LP_2}{LM} = \frac{7a}{8a} = \frac{7}{8} , следовательно, P_2P_3 = k_3 \cdot SM = \frac{7}{8} \cdot 8a = 7a. Также LP_3 = k_3 \cdot SL = \frac{7}{8} \cdot 8a = 7a , откуда SP_3=a .

4. Сторона AP_3 . Найдем длину AP_3 из \triangle SAP_3 по теореме косинусов. SA=2a , SP_3=a , \angle ASP_3 = 60^\circ (так как грань SKL — равносторонний треугольник). \begin{gathered}

AP_3^2 = SA^2 + SP_3^2 - 2 \cdot SA \cdot SP_3 \cdot \cos 60^\circ = \\

= (2a)^2 + a^2 - 2 \cdot 2a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = 3a^2 \Longrightarrow AP_3 = a\sqrt{3}.

\end{gathered} Следовательно, периметр сечения \begin{gathered}

P_{AP_1P_2P_3} = AP_1 + P_1P_2 + P_2P_3 + P_3A = \\

= 6a + a\sqrt{3} + 7a + a\sqrt{3} = a(13+2\sqrt{3}).

\end{gathered}

Ответ: \displaystyle \left(13 + 2\sqrt 3 \right) a .

Пример 5.10

ЕГЭ-2022, основной вариант, С-Петербург, № 13.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD . Диагонали пересекаются в точке O . Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость \alpha проходит через точки M и N параллельно прямой SO .

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью \alpha является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью \alpha , если AD=10 , BC=8 , SO=8 , а прямая SO перпендикулярна прямой AD .

Stereo_2_91_s Рис. 4: К примеру 5.10

Решение.

а) Прямая MN — средняя линия трапеции ABCD , следовательно, MN \parallel AD (рис. 4). Плоскость \alpha проходит через прямую MN и параллельна SO . Пусть \alpha пересекает ребра SA и SD в точках K и L соответственно. Прямая KL — линия пересечения плоскости \alpha и плоскости (SAD) . Поскольку MN \parallel AD , а AD \subset (SAD) , то прямая MN параллельна плоскости (SAD) . Следовательно, плоскость \alpha пересекает плоскость (SAD) по прямой KL , параллельной MN . Таким образом, в сечении MKLN две стороны MN и KL параллельны. Следовательно, MKLN — трапеция.

б) MN — средняя линия трапеции ABCD , MN = \frac{1}{2}(AD+BC) = \frac{1}{2}(10+8)=9 . \triangle BOC \sim \triangle DOA . Коэффициент подобия k = \frac{BC}{AD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} . Следовательно, \frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{4}{5} . Проведем через точку O прямую M_1N_1 \parallel MN . Плоскость \alpha \parallel (M_1SN_1) , поскольку \alpha \parallel SO и MN \parallel M_1N_1 . Следовательно, плоскость (ASB) пересекает плоскости \alpha и (M_1SN_1) по параллельным прямым. Проведем MK \parallel M_1S , KL \parallel MN . Аналогично LN \parallel SN_1 . По обобщенной теореме Фалеса \frac{CN_1}{N_1D} = \frac{CO}{OA} = \frac{4}{5} .

Из подобия \triangle DLN \sim \triangle DSN_1 : \frac{DL}{DS} = \frac{DN}{DN_1} = \frac{9}{10} . Из подобия \triangle SKL \sim \triangle SAD : \frac{KL}{AD} = \frac{SL}{SD} \Longrightarrow \frac{KL}{10} = \frac{z}{10z} \Longrightarrow KL = 1. Высота сечения LH . \triangle SON_1 \sim \triangle LHN : \frac{LH}{SO} = \frac{LN}{SN_1} \Longrightarrow \frac{LH}{8} = \frac{9y}{10y} \Longrightarrow LH = \frac{36}{5}. Площадь сечения: S_{MKLN} = \frac{1}{2}(MN+KL) \cdot LH_1 = \frac{1}{2}(9+1) \cdot \frac{36}{5} = 36.

Ответ: 36 .