Метод координат. Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение прямой в пространстве.: Часть 1

Видео

Конспект

Метод координат

Уравнение плоскости

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали

Зададимся вопросом: как записать уравнение плоскости в декартовой системе координат? Плоскость однозначно определяется, если задана:

Точка M_0(x_0, y_0, z_0) , через которую проходит плоскость (опорная точка).

Вектор \vec{n} = \{A; B; C\} , перпендикулярный этой плоскости (вектор нормали).

Для того, чтобы произвольная (текущая) точка M(x, y, z) принадлежала плоскости \alpha , необходимо и достаточно, чтобы вектор \vec{M_0M} был перпендикулярен вектору нормали \vec{n} (рис. 1): M \in \alpha \iff \vec{M_0M} \perp \vec{n}.

Stereo_2_135_s Рис. 1: Уравнение плоскости

Условие перпендикулярности двух векторов — равенство нулю их скалярного произведения: (\vec{n}, \vec{M_0M}) = 0 Найдем координаты вектора \vec{M_0M} = \{x-x_0, y-y_0, z-z_0\} . Тогда скалярное произведение в координатах: A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0. Это и есть уравнение плоскости, проходящей через точку M_0 перпендикулярно вектору \vec{n} .

Если в предыдущем уравнении раскрыть скобки, получим: Ax + By + Cz - (Ax_0 + By_0 + Cz_0) = 0 Обозначив свободный член D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0 , получим общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0 Важно:

Любое линейное уравнение такого вида описывает плоскость в пространстве.

Коэффициенты A , B , C при x , y , z являются координатами вектора нормали \vec{n} .

Вектор нормали \vec{n} должен быть ненулевым (хотя бы одна из координат A,B,C не равна нулю).

Уравнение плоскости определяется с точностью до умножения на константу (то есть, kAx+kBy+kCz+kD=0 задает ту же плоскость при k \neq 0 ).

Уравнение плоскости по трем точкам

При практическом применении метода координат очень важно уметь записывать уравнение плоскости по трем точкам. Пусть плоскость \alpha задана тремя точками, не лежащими на одной прямой: M_1(x_1, y_1, z_1) , M_2(x_2, y_2, z_2) , M_3(x_3, y_3, z_3) .

Способ 1: через систему уравнений

Ищем вектор нормали \vec{n}=\{A, B, C\} из условий его перпендикулярности векторам, лежащим в плоскости: \begin{cases}

(\vec{n}, \vec{M_1M_2}) = 0, \\

(\vec{n}, \vec{M_1M_3}) = 0.

\end{cases} Это дает систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными A , B , C .

Поскольку вектор нормали определен с точностью до длины, одну из неизвестных (которая точно не равна нулю) можно положить равной 1 и найти две другие.

Получив координаты \vec{n} , записываем уравнение плоскости по опорной точке.

Способ 2: «грубый» метод

Записываем общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0.

Подставляем в него координаты всех трех точек, получая систему из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными A, B, C, D .

Так как одно из неизвестных можно выбрать произвольно (например, D=1 ), решаем систему и находим коэффициенты.

Способ 3: через векторное произведение

Строим два неколлинеарных вектора, лежащих в плоскости: \begin{aligned}

\vec{M_1M_2} &= \{x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\}, \\

\vec{M_1M_3} &= \{x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1\}

\end{aligned}

Находим вектор нормали \vec{n} как их векторное произведение: \vec{n} = [\vec{M_1M_2}, \vec{M_1M_3}] Координаты \{A, B, C\} вектора \vec{n} вычисляются через определитель.

Берем любую из трех точек (например, M_1 ) в качестве опорной и записываем уравнение плоскости: A(x-x_1) + B(y-y_1) + C(z-z_1) = 0

Векторное произведение

Напомним определение и основные свойства векторного произведения. Для нас основная задача, которую решает векторное произведение, — это нахождение вектора, перпендикулярного двум заданным векторам.

Обозначение: \vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}] или \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} .

Определение 7.1

Векторное произведение \vec{c} двух векторов \vec{a} и \vec{b} — это вектор, удовлетворяющий трем условиям:

Направление: Вектор \vec{c} перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы \vec{a} и \vec{b} . \vec{c} \perp \vec{a} \quad и \quad \vec{c} \perp \vec{b}

Длина (модуль): Длина вектора \vec{c} численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах \vec{a} и \vec{b} . |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\varphi, где \varphi — угол между векторами \vec{a} и \vec{b} .

Ориентация (Правило правой руки): Тройка векторов (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) является правой. Это означает, что если расслабленые пальцы правой руки направлены от первого вектора ( \vec{a} ) ко второму ( \vec{b} ) по кратчайшему пути, то направление большого пальца совпадет с направлением вектора \vec{c} .

В аналитической геометрии векторное произведение чаще всего используется для нахождения вектора нормали к плоскости. Если плоскость задана тремя точками M_1 , M_2 , M_3 , то вектор нормали \vec{n} можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости: \vec{n} = [\vec{M_1M_2}, \vec{M_1M_3}]

В координатах векторное произведение удобно находить с помощью определителя третьего порядка. Пусть даны два вектора в прямоугольной декартовой системе координат: \begin{aligned}

\vec{a} = \{a_1, a_2, a_3\} ,~~

\vec{b} = \{b_1, b_2, b_3\}.

\end{aligned} Тогда их векторное произведение \vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}] вычисляется через определитель (детерминант) третьего порядка: \vec{c} =

\begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3.

\end{vmatrix} где \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} — орты (единичные векторы) координатных осей Ox , Oy , Oz .

Раскрытие этого определителя по первой строке дает: \vec{c} = \vec{i} \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \vec{c} = \vec{i}(a_2b_3 - b_2a_3) - \vec{j}(a_1b_3 - b_1a_3) + \vec{k}(a_1b_2 - b_1a_2) Координаты результирующего вектора \vec{c} = \{c_x, c_y, c_z\} равны: \begin{aligned}

c_x &= a_2b_3 - b_2a_3 \\

c_y &= a_3b_1 - a_1b_3 \\

c_z &= a_1b_2 - b_1a_2

\end{aligned}