Метод координат. Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение прямой в пространстве.: Часть 2

Видео

Конспект

Угол между векторами

Из определения скалярного произведения (\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos\varphi следует формула для косинуса угла \varphi между векторами: \cos\varphi = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} Если векторы заданы координатами \vec{a} = \{a_1, a_2, a_3\} и \vec{b} = \{b_1, b_2, b_3\} , то формула принимает вид: \cos\varphi = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}.

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между прямыми по определению является острым. Он равен углу между их направляющими векторами \vec{a} и \vec{b} . Чтобы гарантированно получить острый угол, в числителе используется модуль скалярного произведения: \cos\varphi = \frac{|(\vec{a}, \vec{b})|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{|a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}} .

Угол между плоскостями

Угол между двумя плоскостями равен острому углу между их векторами нормали \vec{n_1} = \{A_1, B_1, C_1\} и \vec{n_2} = \{A_2, B_2, C_2\} . Формула аналогична: \cos\varphi = \frac{|(\vec{n_1}, \vec{n_2})|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}.

Угол между прямой и плоскостью

Пусть \vec{a} — направляющий вектор прямой l , а \vec{n} — вектор нормали к плоскости \alpha (рис. 2).

Stereo_2_149_s

Рис. 2: Угол между прямой и плоскостью

Угол \alpha между прямой и ее проекцией на плоскость и угол \beta между направляющим вектором и вектором нормали связаны соотношением \alpha + \beta = 90^\circ . Следовательно, \sin\alpha = \cos\beta . Для нахождения угла между прямой и плоскостью используется формула для синуса: \sin\alpha = \cos\beta = \frac{|(\vec{a}, \vec{n})|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|}.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть \alpha — плоскость, которая проходит через точку M_0(x_0, y_0, z_0) перпендикулярно вектору нормали \vec{n} = \{A; B; C\} . Пусть также дана точка M(x, y, z) , не принадлежащая плоскости. Найдем расстояние от точки M до плоскости \alpha .

Рассмотрим проекцию вектора \overrightarrow{M_0M} на вектор нормали \vec{n} = \{A; B; C\} . Очевидно, что модуль этой проекции будет равен искомому расстоянию от точки M до плоскости \alpha (рис. 3).

Stereo_2_150_s

Рис. 3: Отклонение точки от плоскости

Отклонением ( \delta ) точки M от плоскости \alpha назовем проекцию вектора \overrightarrow{M_0M} на направление вектора нормали \vec{n} . Геометрически, если \varphi — угол между векторами \vec{n} и \overrightarrow{M_0M} , то: \delta = |\overrightarrow{M_0M}| \cos\varphi.

Из скалярного произведения (\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M}) = |\vec{n}| \cdot |\overrightarrow{M_0M}| \cos\varphi, можно выразить отклонение: \delta = \frac{(\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M})}{|\vec{n}|}.

Знак отклонения показывает, с какой стороны от плоскости находится точка M относительно направления вектора \vec{n} .

\delta > 0 , если точка M лежит в том полупространстве, куда указывает вектор \vec{n} (угол \varphi острый).

\delta < 0 , если точка M лежит в противоположном полупространстве (угол \varphi тупой).

Расстояние ( d ) от точки до плоскости — это абсолютное значение (модуль) отклонения: d = |\delta| = \frac{|(\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M})|}{|\vec{n}|}.

Нормированное уравнение плоскости

До этого момента мы использовали вектор нормали только, чтобы задать направление, его длина не играла никакой роли. Выбререм вектор нормали \vec{n} единичной длины ( |\vec{n}|=1 ) (такой вектор называется ортом). Чтобы получить единичный вектор нормали, нужно исходный вектор \vec{n}_{исх} разделить на его длину: \vec{n} = \frac{\vec{n}_{исх}}{|\vec{n}_{исх}|}. В этом случае координаты вектора нормали \{A; B; C\} будут удовлетворять условию A^2+B^2+C^2=1 . Формула для отклонения при использовании единичного вектора нормали значительно упрощается: \delta = (\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M}). Уравнение плоскости, записанное с использованием единичного вектора нормали, называется нормированным уравнением плоскости. Его левая часть (\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M}) при подстановке координат любой точки M сразу дает величину отклонения (расстояние со знаком) от этой точки до плоскости.

Координаты единичного вектора нормали (как и любого орта) являются его направляющими косинусами: \vec{n} = \{\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma\}, где \alpha , \beta , \gamma — углы, которые вектор \vec{n} образует с осями координат Ox , Oy , Oz соответственно. При этом выполняется условие: \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 . Как уже говорилось, скалярное произведение единичного вектора нормали \vec{n} на вектор \overrightarrow{M_0M} (где M_0 — точка на плоскости, а M — произвольная точка) равно отклонению \delta точки M от плоскости: (\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M}) = \delta. Раскрывая скалярное произведение, получаем: (x-x_0)\cos\alpha + (y-y_0)\cos\beta + (z-z_0)\cos\gamma = \delta. Перегруппировав слагаемые, получим нормированное уравнение плоскости: x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma - p = \delta, где p = x_0\cos\alpha + y_0\cos\beta + z_0\cos\gamma — константа, характеризующая плоскость.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Нормированное уравнение удобно использовать для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.

Пусть даны две прямые: L_1 (проходит через точку M_1 , направляющий вектор \vec{a} ) и L_2 (проходит через точку M_2 , направляющий вектор \vec{b} ). Построим плоскость \alpha , которая проходит через прямую L_1 и параллельна прямой L_2 . Вектор нормали \vec{n} к этой плоскости перпендикулярен обоим направляющим векторам, следовательно, его можно найти как их векторное произведение: \vec{n} = \left[\vec{a} \times \vec{b} \right]. Расстояние между скрещивающимися прямыми теперь равно расстоянию от любой точки прямой L_2 (например, M_2 ) до построенной плоскости \alpha . Используя формулу для расстояния от точки до плоскости, получаем: d = \frac{|(\overrightarrow{M_1M_2} \cdot \vec{n})|}{|\vec{n}|} = \frac{|(\overrightarrow{M_1M_2} \cdot \left[\vec{a} \times \vec{b}\right]|}{|\left[\vec{a} \times \vec{b} \right]|}

Такой подход позволяет найти расстояние, не вычисляя координаты оснований общего перпендикуляра.