Метод координат. Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение прямой в пространстве.: Часть 3

Видео

Конспект

Уравнение прямой в пространстве

Прямая в пространстве однозначно определяется точкой, через которую она проходит, и направляющим вектором. Пусть прямая l проходит через точку M_0(x_0, y_0, z_0) (ее часто называют опорной точкой) в направлении вектора \vec{a} = \{a_1, a_2, a_3\} . Условие принадлежности произвольной точки M(x, y, z) (ее обычно называют текущей точкой) прямой l заключается в том, что вектор \overrightarrow{M_0M} должен быть коллинеарен направляющему вектору \vec{a} : M \in l \iff \overrightarrow{M_0M} \parallel \vec{a}.

Канонические уравнения прямой

Из условия коллинеарности векторов ( \overrightarrow{M_0M} и \vec{a} ) следует пропорциональность их координат: \frac{x-x_0}{a_1} = \frac{y-y_0}{a_2} = \frac{z-z_0}{a_3}. Эта система называется каноническими уравнениями прямой.

Примечание: Если одна из координат направляющего вектора (например, a_1 ) равна нулю, это формально означает, что соответствующий числитель также равен нулю. Например, если a_1=0 , система уравнений принимает вид: x-x_0=0, \quad \frac{y-y_0}{a_2} = \frac{z-z_0}{a_3} Геометрически это означает, что прямая лежит в плоскости x=x_0 , перпендикулярной оси Ox .

Параметрические уравнения прямой

Если в канонических уравнениях ввести общий параметр t : \frac{x-x_0}{a_1} = \frac{y-y_0}{a_2} = \frac{z-z_0}{a_3} = t то, выразив x, y, z , можно получить параметрические уравнения прямой: \begin{cases} x = x_0 + a_1 t \\ y = y_0 + a_2 t \\ z = z_0 + a_3 t \end{cases}, \quad t \in (-\infty, +\infty).

Значение t=0 соответствует опорной точке M_0 .

Изменяя параметр t , можно получить координаты любой точки на прямой.

Если t изменяется в конечном интервале, например t \in [t_1, t_2] , то эти уравнения описывают отрезок прямой.

Нахождение точки пересечения прямой и плоскости

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, запишем уравнение прямой в параметрическом виде. Подставим выражения для x(t) , y(t) , z(t) в уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 . Получим линейное уравнение относительно одной переменной t . Решив его, найти значение параметра t_{перес} , соответствующее точке пересечения. Подставляя найденное значение t_{перес} обратно в параметрические уравнения прямой, найдем координаты (x, y, z) точки пересечения.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки M до прямой, проходящей через M_0 с направляющим вектором \vec{a} , — это длина перпендикуляра, опущенного из M на прямую. Его можно найти, вычислив длину вектора, который является разностью между вектором \overrightarrow{M_0M} и его проекцией на направляющий вектор \vec{a} (рис. 4).

Stereo_2_151_s

Рис. 4: Расстояние от точки до прямой

Проекция вектора \overrightarrow{M_0M} на направление вектора \vec{a} (обозначим ее как \vec{b} ): \vec{b} = \frac{(\vec{a}, \overrightarrow{M_0M})}{|\vec{a}| \cdot |\vec{a}|} \vec{a} = \frac{(\vec{a}, \overrightarrow{M_0M})}{(\vec{a}, \vec{a})} \vec{a}

Вектор \vec{c} , идущий от проекции точки M на прямую до самой точки M (вектор перпендикуляра): \vec{c} = \overrightarrow{M_0M} - \overrightarrow{M_0M_1} = \overrightarrow{M_0M} - \vec{b} = \overrightarrow{M_0M} - \frac{(\vec{a}, \overrightarrow{M_0M})}{(\vec{a}, \vec{a})} \vec{a} Длина вектора \vec{c} равна искомому расстоянию d : d = |\vec{c}|.

Перейдем к рещению задач методом координат. Начнем с задачи

Задача 7.1

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 . Найдите угол между прямыми B_1D и прямой, соединяющей точку B и середину ребра AA_1 .

Решение.

Пусть ребро куба равно a . Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B(0; 0; 0) , направив ось x вдоль ребра BA , ось y вдоль ребра BC и ось z вдоль ребра BB_1 .

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:

B(0; 0; 0)

A(a; 0; 0)

D(a; a; 0)

A_1(a; 0; a)

B_1(0; 0; a)

Пусть M — середина ребра AA_1 . Координаты точки M равны полусумме координат точек A и A_1 : M = \left(\frac{a+a}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+a}{2}\right) = \left(a; 0; \frac{a}{2}\right)

Теперь найдем направляющие векторы для искомых прямых.

1. Для прямой B_1D : \vec{v}_1 = \vec{B_1D} = \{a; a; -a\}. Для удобства вычислений можно взять коллинеарный (пропорциональный) вектор, разделив все координаты на a : \vec{v}_1' = \{1; 1; -1\}

2. Для прямой BM : \vec{v}_2 = \vec{BM} = \{a; 0; a/2\} Возьмем коллинеарный вектор, умножив все координаты на 2, чтобы избавиться от дроби: \vec{v}_2' = \{2; 0; 1\}

Угол \varphi между прямыми найдем как угол между их направляющими векторами по формуле: \cos \varphi = \frac{|\vec{v}_1' \cdot \vec{v}_2'|}{|\vec{v}_1'| \cdot |\vec{v}_2'|} =

\frac{2 + 0 - 1}{\sqrt 3\cdot \sqrt 5} = \frac{1}{\sqrt{15}}. Следовательно, искомый угол: \varphi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)

Ответ: \displaystyle \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right) .