Метод координат. Уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение прямой в пространстве.: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 7.2

ЕГЭ-2012, основной вариант, Москва, С2.

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA_1B_1C_1D_1 со стороной основания 3 и боковым ребром 5. На стороне A_1A отмечена точка E , для которой \frac{AE}{EA_1}=\frac{2}{3} . Найдите угол между плоскостями ABC и BED_1 .

Решение.

Введем систему координат с началом в точке B , как показано на рис. 5.

Stereo_2_136_s

Рис. 5: К задаче 7.2

Ось x направим вдоль BA , ось y — вдоль BC , ось z — вдоль BB_1 . Сторона основания равна 3, боковое ребро 5. Отношение \frac{AE}{EA_1}=\frac{2}{3} и AA_1=5 означает, что AE=2 и EA_1=3 .

Определим координаты нужных точек:

B(0, 0, 0)

E(3, 0, 2)

D_1(3, 3, 5)

Плоскость BED_1 проходит через начало координат. Найдем вектор нормали \vec{n_1}=\{A, B, C\} к этой плоскости. Вектор нормали перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости. Возьмем векторы \vec{BE} и \vec{BD_1} .

\vec{BE} = \{3, 0, 2\}

\vec{BD_1} = \{3, 3, 5\}

Условия перпендикулярности (скалярное произведение равно нулю): \begin{aligned}

(\vec{n_1}, \vec{BE}) &= 3A + 0B + 2C = 0, \\

(\vec{n_1}, \vec{BD_1}) &= 3A + 3B + 5C = 0.

\end{aligned} Данная система имеет бесконечно много решений. Положим C=3 . \begin{aligned}

3A + 6 = 0 \implies A = -2 \\

-6 + 3B + 15 = 0 \implies B = -3.

\end{aligned} Отсюда вектор нормали к плоскости BED_1 : \vec{n_1} = \{-2, -3, 3\} .

Плоскость ABC — это координатная плоскость z=0 . Вектор нормали к ней \vec{n_2} сонаправлен с осью Oz , поэтому можно взять \vec{n_2}=\{0, 0, 1\} .

Угол \varphi между плоскостями найдем по формуле угла между их векторами нормалей: \cos\varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{3}{\sqrt{22}}.

Ответ: \varphi = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{22}}\right) .

Пример 7.3

ЕГЭ-2012, тренировочный вариант, С2.

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольник ABCD , в котором AB=5 , AD=\sqrt{33} . Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA_1D_1D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B_1D , если расстояние между прямыми A_1C_1 и BD равно \sqrt{3} .

Решение.

Так как расстояние между скрещивающимися прямыми A_1C_1 и BD (диагоналями оснований) в прямой призме равно ее высоте, то высота призмы равна \sqrt{3} . Введем систему координат, как показано на рис. 6: начало в точке A , ось x вдоль AB , ось y вдоль AD , ось z вдоль AA_1 .

Stereo_2_137_s

Рис. 6: К примеру 7.3

Координаты точек: B_1(5, 0, \sqrt{3}) , D(0, \sqrt{33}, 0) . Вектор \vec{B_1D} = \{-5, \sqrt{33}, -\sqrt{3}\} является вектором нормали к искомой плоскости. Вектор нормали к плоскости AA_1D_1D — это \vec{i}=\{1,0,0\} .

Угол \varphi между плоскостями равен острому углу между их нормалями. \cos\varphi = \frac{|\vec{B_1D} \cdot \vec{i}|}{|\vec{B_1D}| \cdot |\vec{i}|} = \frac{|-5|}{\sqrt{(-5)^2+(\sqrt{33})^2+(-\sqrt{3})^2} \cdot \sqrt{1^2}} = \frac{5}{\sqrt{61}}. Найдем тангенс угла: \cos^2\varphi = \frac{25}{61}\Longrightarrow \tg^2\varphi + 1 = \frac{61}{25}\Longrightarrow \tg\varphi = \frac{6}{5}.

Ответ: \displaystyle \varphi = \arctan\frac{6}{5} .