Куб. Расстояние: от точки до плоскости, от точки до прямой, между прямыми и смешанные задачи.: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 2.24

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром a . Найдите расстояние от точки D_1 до плоскости A B_1 C .

Решение.

Покажем, что диагональ BD_1 \perp (AB_1C) (рис. 6). Действительно, AC \perp (BB_1D_1D) \implies AC \perp BD_1 . Аналогично, AB_1 \perp (A_1BCD_1) \implies BD_1 \perp AB_1 . Так как BD_1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости (AB_1C) , то BD_1 \perp (AB_1C) .

Пусть O — центр основания ABCD . Рассмотрим \triangle BB_1O . Высота BH , опущенная из B на B_1O , является расстоянием от точки B до плоскости (AB_1C) .

\begin{aligned}

&B_1O = \sqrt{BB_1^2 + BO^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = a\sqrt{\frac{3}{2}} \\

\\

&S_{BB_1O} = \frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}a^2 \\

\\

&S_{BB_1O} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot B_1O = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot a\sqrt{\frac{3}{2}} \\

\\

&\frac{1}{2} \cdot BH \cdot a\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}a^2 \implies BH = \frac{a}{\sqrt{3}}

\end{aligned} Расстояние от точки D_1 до плоскости (AB_1C) равно D_1H = BD_1 - BH : D_1H = a\sqrt{3} - \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}

Stereo_2_20_s

Рис. 6: К задаче 2.24

Ответ: \displaystyle \frac{2a\sqrt 3}{3} .

Пример 2.25

ЕГЭ-2022, основной вариант, № 13.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точки M и N являются серединами ребер AB и AD соответственно.

а) Докажите, что прямые B_1N и CM перпендикулярны.

б) Плоскость \alpha проходит через точки N и B_1 параллельно прямой CM . Найдите расстояние от точки C до плоскости \alpha , если B_1N = 3\sqrt 5 .

Stereo_2_70

Рис. 7: К примеру 2.25

Решение.

Соединим точки B и N (рис. 7). Докажем, что BN \bot CM . Пусть точка точка Q — точка пересечения BN и CM . Треугольники CBM и ABN равны по двум катетам, откуда \angle BCM=\angle ABN=\varphi , \angle BCM+\angle BMC=90^{\circ}\Longrightarrow\angle ABN+\angle BMC=90^{\circ} . Тогда из треугольника BQM получаем, что \angle BQM=90^{\circ} и BN \bot CM . А так как BN является проекцией B_1N на плоскость ABC , то по теореме о трех перпендикулярах B_1N и CM перпендикулярны.

б) По условию плоскость \alpha параллельна прямой CM , следовательно, можно искать расстояние от любой точки прямой до плоскости. Опустим перпендикуляр QH из точки Q\in CM на прямую B_1N , это и будет перпендикуляр на плоскость \alpha . Действительно, QH перпендикулярен CM , так как лежит в плоскости BB_1N\bot CM , и перпендикулярен B_1N\in\alpha по построению. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости Q есть искомый перпендикуляр.

Пусть ребро куба равно a . Тогда из \triangle ABN получаем, что BN=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=a\frac{\sqrt 5}{2} . Рассмотрим \triangle BB_1N : BB_1^2+BN^2=B_1N^2\Longleftrightarrow a^2+\frac{5a^2}{4}=(3\sqrt 5)^2 , откуда a=2\sqrt 5 , тогда BN=5, BB_1=2\sqrt 5 . Далее, \tg\varphi=\frac{1}{2} , тогда \cos \varphi=\frac{2}{\sqrt 5} , тогда из \triangle MBQ BQ=\frac{a}{2}\cdot \cos \varphi=2 , значит, QN=3 . Из треугольника BB_1N найдем \sin BNB_1=\frac{BB_1}{B_1N}=\frac{2}{3} , тогда QH=QN\sin BNB_1=3\cdot \frac{2}{3}=2.

Ответ: б) 2 .