Куб. Расстояние: от точки до плоскости, от точки до прямой, между прямыми и смешанные задачи.: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 2.29

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 . Длина ребра куба равна 1 .

Докажите, что расстояние от середины отрезка BC_1 до плоскости AB_1D_1 равно расстоянию середины отрезка BC_1 до прямой, проходящей через середину отрезка AD_1 и вершину B_1 .

Найдите это расстояние.

Решение.

а) Пусть N — середина AD_1 , а M — середина BC_1 (рис. 11).

\triangle AB_1D_1 — равносторонний, так как его стороны AB_1, B_1D_1, AD_1 являются диагоналями граней куба и равны \sqrt{2} .

В равностороннем \triangle AB_1D_1 отрезок B_1N является медианой, а следовательно, и высотой. Таким образом, B_1N \perp AD_1 .

Прямая AD_1 перпендикулярна прямой MN . Так как AD_1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым ( B_1N и MN ) в плоскости (B_1NM) , то AD_1 \perp (B_1NM) .

Проведем в плоскости (B_1NM) высоту MH к стороне NB_1 . Так как MH лежит в плоскости (B_1NM) , то MH \perp AD_1 .

Поскольку MH перпендикулярна AD_1 и по построению MH \perp NB_1 , то MH перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости (AB_1D_1) . Следовательно, MH является расстоянием от точки M до плоскости (AB_1D_1) .

По построению MH также является расстоянием от точки M до прямой NB_1 , что и требовалось доказать.

б) Найдем длину MH из площади \triangle NB_1M .

NM = 1 (расстояние между серединами скрещивающихся диагоналей граней).

B_1M = \frac{\sqrt{2}}{2} (так как M — середина BC_1 , а B_1B — диагональ грани).

B_1N = \sqrt{NM^2+B_1M^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{2}} .

Площадь S_{NB_1M} = \frac{1}{2} \cdot NM \cdot B_1M = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} .

Также S_{NB_1M} = \frac{1}{2} \cdot NB_1 \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot MH .

Приравниваем площади: \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot MH = \frac{1}{2\sqrt{2}} \implies MH = \frac{1}{\sqrt{3}} .

Stereo_2_23_s

Рис. 11: К задаче 2.29

Ответ: б) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} .

Задача 2.30

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром, равным 6, на ребре AA_1 взята точка M так, что \frac{AM}{MA_1} = \frac{1}{2} . На ребре D_1C_1 взята точка N так, что \frac{D_1N}{NC_1} = \frac{1}{2} .

Докажите, что прямые MB_1 и CN перпендикулярны.

Найдите расстояние от точки M до прямой CN .

Решение.

Ребро куба a=6 . Из условий получаем: AM=2, MA_1=4 и D_1N=2, NC_1=4 .

а) Проведем BK \parallel CN , где K — точка на A_1B_1 такая, что A_1K = 2 и KB_1=4 (рис. 12). Тогда \triangle B_1A_1M = \triangle BB_1K по двум катетам. Следовательно, \angle A_1B_1M = \angle B_1BK = \varphi . Из \triangle B_1BK \angle B_1KB = 90^\circ - \varphi . Рассмотрим \triangle KLB_1 . Так как сумма его двух углов равна 90^\circ , то он прямоугольный, следовательно, BK \perp B_1M , отсюда CN \perp B_1M .

б) Проведем C_1P \parallel B_1M . Тогда C_1P \perp CN . Прямая MP \perp (DD_1C_1) , MQ — наклонная, PQ — ее проекция на (DD_1C) . Так как CN \perp PQ , то по теореме о трех перпендикулярах CN \perp MQ . Таким образом, MQ — искомое расстояние. Из прямоугольного \triangle C_1D_1P C_1P = \sqrt{C_1D_1^2 + D_1P^2} = \sqrt{6^2+4^2} = 2\sqrt{13} .

\triangle C_1QN \sim \triangle C_1D_1P . Из подобия: \frac{C_1Q}{C_1D_1} = \frac{C_1N}{C_1P} \implies C_1Q = C_1D_1 \cdot \frac{C_1N}{C_1P} = 6 \cdot \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}} PQ = C_1P - C_1Q = 2\sqrt{13} - \frac{12}{\sqrt{13}} = \frac{26-12}{\sqrt{13}} = \frac{14}{\sqrt{13}} Теперь найдем MQ из прямоугольного \triangle MPQ : MQ = \sqrt{MP^2 + PQ^2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{14}{\sqrt{13}}\right)^2} = 2\sqrt{\frac{166}{13}}

Ответ: б) 2\sqrt{\frac{166}{13}} .

Расстояние между прямыми

Пример 2.31

ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день, №14.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 все ребра равны 6 .

Докажите, что угол между прямыми AC и BC_1 равен 60^\circ .

Найдите расстояние между прямыми AC и BC_1 .

Решение.

а) Пусть P_1 — середина BC , P_2 — середина CC_1 , P_3 — середина AB (рис. 13). По свойству средней линии треугольника: P_3P_1 \parallel AC, \quad P_3P_1 = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} P_1P_2 \parallel BC_1, \quad P_1P_2 = \frac{1}{2}BC_1 = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} Угол между прямыми AC и BC_1 равен углу между прямыми P_3P_1 и P_1P_2 . Найдем длину стороны P_3P_2 . В прямоугольном \triangle P_3BC : P_3C = \sqrt{P_3B^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5} В прямоугольном \triangle P_3CP_2 : P_3P_2 = \sqrt{P_3C^2 + CP_2^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + 3^2} = 3\sqrt{6} Рассмотрим \triangle P_3P_1P_2 . По теореме косинусов: \cos \angle P_3P_1P_2 = \frac{P_3P_1^2 + P_1P_2^2 - P_3P_2^2}{2 \cdot P_3P_1 \cdot P_1P_2} = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{6})^2}{2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2})} = -\frac{1}{2} Отсюда \angle P_3P_1P_2 = 120^\circ . Угол между прямыми — это острый угол, поэтому искомый угол равен 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ .

Stereo_2_24_s

Рис. 13: К примеру 2.31

б) Проведем через прямую BC_1 плоскость, параллельную прямой AC . Так как A_1C_1 \parallel AC , то искомая плоскость — это (A_1BC_1) . Расстояние между скрещивающимися прямыми AC и BC_1 равно расстоянию от любой точки прямой AC до плоскости (A_1BC_1) . Найдем расстояние от точки O (центр основания ABCD ) до плоскости (A_1BC_1) . Построим плоскость (BDD_1B_1) . Так как AC \perp BD и AC \perp BB_1 , то AC \perp (BDD_1B_1) . Поскольку A_1C_1 \parallel AC , то A_1C_1 \perp (BDD_1B_1) . Плоскость (A_1BC_1) проходит через прямую A_1C_1 , перпендикулярную плоскости (BDD_1B_1) , следовательно, плоскости (A_1BC_1) и (BDD_1B_1) взаимно перпендикулярны. Линией пересечения этих плоскостей является прямая BO_1 , где O_1 — центр грани A_1B_1C_1D_1 . Искомое расстояние будет равно высоте OH , проведенной из точки O к прямой BO_1 в треугольнике BOO_1 .

Рассмотрим прямоугольный \triangle BOO_1 : Катет BO — это половина диагонали основания: BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} . Катет OO_1 равен ребру куба: OO_1 = 6 . Гипотенуза BO_1 : BO_1 = \sqrt{BO^2 + OO_1^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = 3\sqrt{6}. Площадь \triangle BOO_1 можно вычислить двумя способами: S_{BOO_1} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot OO_1 = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 6 = 9\sqrt{2}, S_{BOO_1} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot BO_1 = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot 3\sqrt{6}. Приравняем площади: 9\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot 3\sqrt{6} \Longrightarrow

OH = 2\sqrt{3}.

Ответ: б) 2\sqrt{3} .