Конусы и цилиндры: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 6.4

Дан прямой круговой конус с вершиной M . Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120^{\circ} при вершине M . Образующая конуса равна 10\sqrt 3 . Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.

а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник — тупоугольный.

б) Найдите расстояние от центра O основания конуса до плоскости сечения.

Stereo_2_127_s

Рис. 4: К примеру 6.4

Stereo_2_128_s

Рис. 5: К примеру 6.4

Решение.

а) Пусть MA — образующая, которой перпендикулярна плоскость сечения. Тогда сечение — треугольник MQP , где MQ \perp MA и MP \perp MA (рис. 4, рис. 5). Найдем стороны \triangle MQP , MP=MQ=10\sqrt{3} как образующие конуса. В \triangle AMN MN = AM \tg 30^\circ = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 10. В \triangle MQN QN = \sqrt{MQ^2 - MN^2} = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 - 10^2} = 10\sqrt{2}. Следовательно, QP = 2QN = 20\sqrt{2} . В \triangle MQP по теореме косинусов найдем \cos(\angle QMP) : \begin{gathered}

\cos(\angle QMP) = \frac{MP^2+MQ^2-QP^2}{2 \cdot MP \cdot MQ} = \\ = \frac{(10\sqrt{3})^2+(10\sqrt{3})^2-(20\sqrt{2})^2}{2 \cdot (10\sqrt{3})^2} = - \frac{1}{3} < 0.

\end{gathered} Так как косинус угла отрицателен, \angle PMQ — тупой.

б) Рассмотрим \triangle MON , O — центр основания, M — вершина, MO — высота конуса (рис. 5). Из осевого сечения MO = 10\sqrt{3}\cos 60^\circ = 5\sqrt{3} . MN=10 , ON = \sqrt{MN^2 - MO^2} = \sqrt{10^2 - (5\sqrt{3})^2} = 5 . Площадь \triangle MON : S_{MON} = \frac{1}{2} OM \cdot ON = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{3} \cdot 5 = \frac{25\sqrt{3}}{2}. Пусть h — искомое расстояние (высота из O на MN ). S_{MON} = \frac{1}{2} h \cdot MN = \frac{1}{2}h \cdot 10 = 5h. Приравниваем площади: 5h = \frac{25\sqrt{3}}{2} \implies h = \frac{5\sqrt{3}}{2}.

Ответ: б) \displaystyle \frac{5\sqrt 3}{2} .

Пример 6.5

ЕГЭ-2019, досрочная волна, резервный день, №14.

В конусе с вершиной S и центром основания O радиус основания равен 13, а высота равна 3\sqrt{41} . Точки A и B — концы образующих, M — середина SA . N — точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB .

Докажите что ANO — прямой угол.

Найдите угол между MB и плоскостью основания, если дополнительно известно что AB=10 .

Stereo_2_129_s

Рис. 6: К примеру 6.5

Решение.

а) Рассмотрим \triangle ASB . Так как M — середина AS и по условию MN \parallel SB , то по теореме Фалеса MN является средней линией треугольника ASB (рис. 6). Следовательно, точка N — середина отрезка AB . Рассмотрим \triangle AOB в основании конуса. Так как AO=OB=13 как радиусы, то \triangle AOB — равнобедренный. ON соединяет вершину O с серединой основания N , значит ON является медианой и высотой в этом треугольнике. Следовательно, ON \perp AB . Угол \angle ONA , который является частью угла \angle ANO , прямой. Значит, и \angle ANO=90^\circ .

б) Угол между прямой MB и плоскостью основания (ABC) — это угол между прямой MB и ее проекцией на эту плоскость. Пусть H — проекция точки M на плоскость (ABC) . Так как M — середина образующей SA , а проекцией вершины S является центр основания O , то проекция точки M (точка H ) будет серединой отрезка AO . Проекцией прямой MB на плоскость основания является прямая HB . Искомый угол — это \angle MBH .

Найдем катеты прямоугольного треугольника MHB (угол \angle MHB = 90^\circ ).

MH — высота точки M над основанием. Так как H — середина AO и MH \parallel SO , то MH является средней линией \triangle ASO . MH = \frac{1}{2} SO = \frac{3\sqrt{41}}{2}.

BH — длина проекции. Найдем ее из треугольника AOB . В равнобедренном \triangle AOB известны стороны AO=13 , OB=13 , AB=10 . По формуле для медианы \begin{gathered}

BH = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2 OB^2 - AO^2} = \\

= \frac{1}{2} \sqrt{2\cdot 10^2 +2 \cdot 13^2 - 13^2} = \frac{3\sqrt{41}}{2}.

\end{gathered}

Оказалось, что катеты MH и BH равны: \displaystyle MH = BH = \frac{3\sqrt{41}}{2} . Следовательно, \triangle MHB — прямоугольный и равнобедренный. Его острые углы равны 45^\circ . Таким образом, \angle MBH = 45^\circ .

Ответ: б) 45^\circ .