Куб. Построение сечений. Площадь сечения: Часть 3
Математика, 11 класс
Пример 2.4 Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром a , точки K и M — середины ребер B_1C_1 и D_1C_1 соответственно. а) Постройте сечение куба плоскостью AKM ; б) Найдите площадь сечения. Stereo_2_12 Рис. 13...
Видео
Конспект
Пример 2.4
Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром a , точки K и M — середины ребер B_1C_1 и D_1C_1 соответственно.
а) Постройте сечение куба плоскостью AKM ;
б) Найдите площадь сечения.
Stereo_2_12
Рис. 13: К примеру 2.4
Stereo_2_13
Рис. 14: К примеру 2.4
Решение.
а) Обозначим плоскость сечения \alpha . Соединим точки K и M (рис. 13). Поскольку плоскости ABC и A_1B_1C_1 параллельны, то плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Проведем через точку A прямую, параллельную KM , которая пересекается с прямой CD в точке Q . Соединим точки M и Q (рис. 14). Пусть точка L — точка пересечения MQ и DD_1 . Соединяя точки L и A , получим линию пересечения плоскости сечения и плоскости AA_1D_1 . Плоскость BB_1C_1 параллельна плоскости AA_1D_1 , поэтому линия пересечения плоскости \alpha и плоскости BB_1C_1 параллельна AL . Проведем через точку K проведем прямую KP \parallel LA . Соединяя точки P и A , завершаем построение сечения куба плоскостью \alpha .
б) Разобьем сечение на \triangle APL и равнобокую трапецию PKML . Треугольники ADQ и BCD равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому QD = DC = a . Из подобия \triangle D_1LM и \triangle DLQ следует, что \displaystyle D_1L = \frac{a}{3} , а \displaystyle LD = \frac{2}{3} a . Отрезок \displaystyle D_1M = \frac{a}{2} , тогда в \triangle D_1 ML гипотенуза \displaystyle LM = \frac{\sqrt{13}a}{6} .
В равнобокой трапеции PKML основания \displaystyle PL = a \sqrt 2 , \displaystyle KM = \frac{a\sqrt 2}{2} , высота равна \displaystyle \frac{a}{6} \sqrt{\frac{17}{2}} . Тогда площадь трапеции равна \displaystyle \frac{a^2 \sqrt{17}}{8} .
В \triangle ADL гипотенуза \displaystyle AL = \frac{a\sqrt{13}}{3} . Высота \triangle APL равна \displaystyle \frac{a}{3} \sqrt {\frac{17}{2}} . Следовательно, \displaystyle S_{APL} = \frac{a^2 \sqrt{17}}{6} . Тогда площадь сечения \displaystyle \frac{7\sqrt{17} a^2}{24} .
Stereo_2_11
Рис. 15: К примеру 2.4
Ответ: а) рис. 15; б) \displaystyle \frac{7\sqrt{17} a^2}{24} .