Куб. Построение сечений. Площадь сечения: Часть 4

Видео

Конспект

Задача 2.5

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром a , точки L и M — середины ребер AA_1 и D_1C_1 соответственно.

а) Постройте сечение куба плоскостью LB_1M ;

б) Найдите площадь сечения.

Решение.

а) Построение сечения. Плоскость сечения проходит через точки L , B_1 , M . Пересекая параллельные грани ADD_1A_1 и BCC_1B_1 , плоскость образует параллельные прямые. Таким образом, линия пересечения с гранью BCC_1B_1 должна быть параллельна LM . Проведем LB_1 \parallel MP_1 . Соединяя точки P_1 и L завершаем построение сечения. Сечением является трапеция LB_1MP_1 , где LB_1 \parallel MP_1 .

б) Нахождение площади сечения. Найдем длины сторон трапеции.

\triangle B_1A_1L : LB_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + A_1L^2} = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}. Из подобия \triangle P_1D_1M \sim \triangle LA_1B_1 (с коэффициентом 1/2) P_1M = \frac{1}{2} LB_1 = \frac{a\sqrt{5}}{4} .

Боковые стороны: P_1L = \sqrt{a^2 + a^2/16} = \frac{a\sqrt{17}}{4},

B_1M = \sqrt{B_1C_1^2 + C_1M^2} = \sqrt{a^2+(a/2)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}.

Для нахождения площади трапеции S = \frac{1}{2}(LB_1 + P_1M)h нам нужна ее высота h (рис. 16). Найдем ее через площадь треугольника \triangle B_1LP_1 . Высота этого треугольника, опущенная из P_1 на основание B_1L , совпадает с высотой трапеции.

Stereo_2_84

Рис. 16: К задаче 2.5

Для этого найдем длину диагонали B_1P_1 и воспользуемся теоремой косинусов. B_1P_1 = \sqrt{B_1D_1^2 + D_1P_1^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a/4)^2} = \frac{a\sqrt{33}}{4}. Рассмотрим \triangle B_1LP_1 . Пусть \varphi = \angle LB_1P_1 . По теореме косинусов: P_1L^2 = B_1L^2 + B_1P_1^2 - 2B_1L \cdot B_1P_1\cos\varphi

\cos\varphi = \frac{B_1L^2 + B_1P_1^2 - P_1L^2}{2B_1L \dot B_1P_1} = \frac{(\frac{a\sqrt{5}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{33}}{4})^2 - (\frac{a\sqrt{17}}{4})^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{33}}{4}} = \frac{9}{\sqrt{165}} Теперь найдем синус угла \varphi : \sin\varphi = \sqrt{1 - \cos^2\varphi} = \sqrt{1 - \frac{81}{165}} = \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{165}}. Высота трапеции h равна высоте треугольника \triangle B_1LP_1 , опущенной из P_1 : h = B_1P_1 \sin\varphi = \frac{a\sqrt{33}}{4} \cdot \frac{2\sqrt{21}}{\sqrt{165}} = \frac{a\sqrt{21}}{2\sqrt{5}}. Наконец, найдем площадь трапеции: S = \frac{1}{2} \left( LB_1 + P_1M \right) \cdot h = \frac{1}{2} \left( \frac{a\sqrt{5}}{2} + \frac{a\sqrt{5}}{4} \right) \cdot \frac{a\sqrt{21}}{2\sqrt{5}} = \frac{3a^2\sqrt{21}}{16}.

Ответ: а) рис. 16; б) \displaystyle \frac{3a^2 \sqrt{21}}{16} .

Пример 2.6

Постройте сечение куба ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью, проходящей через точки MNK , где точка M\in A_1B_1 , A_1M = MB_1 , точка N\in DD_1 , \displaystyle ND = \frac{DD_1}{3} , точка K — пересечение прямых D_1C и C_1D . Найдите длину отрезка прямой, по которому плоскость сечения пересекает грань куба BB_1C_1 , сторона куба равна a .

Stereo_2_17

Рис. 17: К примеру 2.6

Stereo_2_18

Рис. 18: К примеру 2.6

Решение.

Точки N и K лежат в плоскости грани DD_1C_1 (рис. 17), поэтому прямая NK — линия пересечения плоскости DD_1C_1 и плоскости сечения, пересекающая ребро CC_1 в точке P_1 . Так как плоскости AA_1B_1 и DD_1C_1 параллельны, то плоскость сечения пересекает их по паралленьным прямым. Проводя через точку M прямую, параллельную NK , получаем точку P_2 . Далее соединяем точки P_2 и N , поскольку они лежат в плоскости AA_1D_1 . Плоскости AA_1D_1 и BB_1C_1 также параллельны, поэтому плоскость сечения пересекает BB_1C_1 по прямой, параллельной P_2 N . Проведем P_1P_3 \| P_2N . Соединяя точки M и P_3 , завершаем построение сечения. Плоскость сечения пересекает грань BB_1C_1 по прямой P_1P_3 .

Найдем длину отрезка P_1P_3 . Проведем через точку K отрезок Q_1Q_2 \parallel DC (рис. 17). \triangle P_1KQ_2 = \triangle NKQ_1 , поэтому \displaystyle P_1Q_2 = Q_1N = \frac{a}{2} - \frac{a}{3} = \frac{a}{6} . Продолжим P_2M и BB_1 до пересечения в точке B_2 . \triangle KP_1Q_2 = \triangle MB_1B_2 , поэтому \displaystyle B_1B_2 = Q_2P_1 = \frac{a}{6} . На рис. 18 \triangle P_1P_3C_1 \sim \triangle B_2P_3B_1 . Поскольку C_1 P_1 = \frac{a}{3} , B_1B_2 = \frac{a}{6} , то P_3C_1 = \frac{2}{3} a . Следовательно, \displaystyle P_2P_1 = \sqrt{\left(\frac{2}{3}a\right)^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \frac{a\sqrt 5}{3}.

Ответ: \displaystyle \frac{a\sqrt 5}{3} .