Куб. Построение сечений. Площадь сечения: Часть 5

Видео

Конспект

Задача 2.7

Постройте сечение куба ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром a плоскостью, проходящей через точки B , D_1 и K , где точка K \in DCC_1 и находится на равном расстоянии от ребер DD_1 и CC_1 , а расстояния до ребер D_1C_1 и DC относятся как 2:1 . Найдите длину отрезка, по которому это сечение пересекает грань A_1B_1C_1 .

Решение.

Проведем отрезок, соединяющий середины ребер DC и D_1C_1 . Обозначим эти середины M и M_1 соответственно (рис. 19). Так как точка K равноудалена от ребер DD_1 и CC_1 , она лежит на отрезке MM_1 . По условию, отношение расстояний от K до D_1C_1 и до DC равно 2:1, значит M_1K = \frac{2}{3}a и MK = \frac{1}{3}a .

Проведем прямую D_1K . Ее пересечение с прямой DC обозначим P_1 .

Рассмотрим треугольники \triangle M_1KD_1 и \triangle MKP_1 . Они подобны по двум углам (вертикальные углы при вершине K и накрест лежащие углы, так как D_1C_1 \parallel DC ). \frac{MP_1}{M_1D_1} = \frac{MK}{M_1K} = \frac{a/3}{2a/3} = \frac{1}{2} Так как M_1D_1 = a/2 , получаем: MP_1 = \frac{1}{2} M_1D_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{4} Точка P_1 лежит на ребре DC , и DP_1 = DM + MP_1 = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{3a}{4} .

Соединяем точки B и P_1 . Отрезок BP_1 — это линия пересечения секущей плоскости с гранью ABCD .

Секущая плоскость пересекает параллельные грани ABCD и A_1B_1C_1D_1 по параллельным прямым. Поэтому проведем через точку D_1 прямую, параллельную P_1B . Точка пересечения этой прямой с ребром A_1B_1 и будет четвертой вершиной сечения, обозначим ее P_2 .

Из параллельности и свойств куба следует, что A_1P_2 = \frac{a}{4} . Соединяем P_2 и B , что завершает построение сечения BP_1D_1P_2 .

Искомый отрезок, по которому сечение пересекает грань A_1B_1C_1 — это отрезок P_2D_1 . Найдем его длину из прямоугольного треугольника \triangle A_1P_2D_1 по теореме Пифагора (так как \angle D_1A_1P_2 = 90^\circ ): P_2D_1 = \sqrt{A_1D_1^2 + A_1P_2^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{4}\right)^2} = \frac{a\sqrt{17}}{4}.

Stereo_2_13_s

Рис. 19: К задаче 2.7

Ответ: \displaystyle \frac{a\sqrt {17}}{4} .

Задача 2.8

Постройте сечение куба ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью, проходящей через точки D , M и N , где точка M\in A_1D_1 , A_1M=MD_1 , точка N\in BB_1 , NB=B_1 N и найдите периметр этого сечения, если ребро куба равно 1 .

Решение.

1. Построение сечения.

Соединяем точки M и D , так как они заданы в условии.

Так как плоскость сечения пересекает параллельные грани ADD_1A_1 и BCC_1B_1 по параллельным прямым, проведем через точку N прямую, параллельную MD . Точку пересечения этой прямой с ребром BC обозначим P_1 .

Соединяем точки P_1 и D . Это линия пересечения плоскости с нижней гранью.

Плоскость сечения пересекает параллельные грани ABCD и A_1B_1C_1D_1 по параллельным прямым. Поэтому через точку M проведем прямую, параллельную P_1D . Точку пересечения этой прямой с ребром A_1B_1 обозначим P_2 .

Соединяем точки P_2 и N , которые лежат в одной грани ABB_1A_1 .

Построение завершено. Искомое сечение — пятиугольник DMP_2NP_1 .

2. Расчет периметра. Найдем длины всех сторон пятиугольника. Ребро куба a=1 .

В \triangle MD_1D (прямоугольном): MD_1 = 1/2 , D_1D = 1 . MD = \sqrt{MD_1^2 + D_1D^2} = \sqrt{(1/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \frac{\sqrt{5}}{2}

\triangle P_1BN \sim \triangle MD_1D по двум углам, так как NP_1 \parallel MD . Коэффициент подобия k = \frac{NB}{D_1D} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} . Отсюда P_1B = k \cdot MD_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} . NP_1 = k \cdot MD = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}

В \triangle P_1CD (прямоугольном): CD = 1 , P_1C = 1 - P_1B = 1 - 1/4 = 3/4 . P_1D = \sqrt{CD^2 + P_1C^2} = \frac{5}{4}

\triangle A_1P_2M \sim \triangle P_1CD по двум углам, так как MP_2 \parallel DP_1 . Коэффициент подобия k' = \frac{A_1M}{P_1C} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3} . P_2M = k' \cdot P_1D = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} Из подобия также находим A_1P_2 = k' \cdot CD = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} .

В \triangle P_2B_1N (прямоугольном): B_1N = 1/2 , P_2B_1 = 1 - A_1P_2 = 1 - 2/3 = 1/3 . P_2N = \sqrt{P_2B_1^2 + B_1N^2} = \sqrt{(1/3)^2 + (1/2)^2} = \frac{\sqrt{13}}{6}

Периметр P равен сумме длин сторон: P = MD + NP_1 + P_1D + P_2M + P_2N P = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{5}{4} + \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{13}}{6} = \frac{9\sqrt{5} + 25 + 2\sqrt{13}}{12}.

Stereo_2_14_s

Рис. 20: К задаче 2.8

Ответ: \displaystyle \frac{3\sqrt 5 + 5}{4} + \frac{5 + \sqrt{13}}{6} .