Призмы. Углы и расстояния между прямыми в пространстве.: Часть 3

Видео

Конспект

Пример 4.23

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все ребра равны 1.

Докажите, что точки F и C равноудалены от плоскости BED_1 .

Найдите расстояние между прямыми ED_1 и FE_1 .

Решение.

а) Так как плоскости оснований (ABC) и (A_1B_1C_1) параллельны, то сечение (BED_1) должно пересекать их по параллельным прямым (рис. 3).

Stereo_2_84_s

Рис. 3: К примеру 4.23

Поскольку D_1C_1 \parallel BE (свойства правильного шестиугольника), сечение проходит через точки B, E, D_1, C_1 . Сечение BED_1C_1 представляет собой равнобедренную трапецию. Проведем в ней высоты D_1P_2 и C_1P_1 на основание BE . По теореме о трех перпендикулярах, их проекции DP_2 и CP_1 будут высотами в трапециях EDCB .

Расстояние от точки C до плоскости сечения — это высота CH_1 в \triangle C_1P_1C . Аналогично, расстояние от точки F до плоскости сечения — это высота FH_2 в \triangle F P_2 F_1 . Из симметрии правильного шестиугольника следует, что CP_1 = FP_2 . Рассмотрим \triangle CP_1H_1 и \triangle FP_2H_2 . Они равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, их катеты равны: CH_1 = FH_2 . Это означает, что точки F и C равноудалены от плоскости BED_1 .

б) Так как плоскость сечения BED_1C_1 проходит через прямую BC_1 , которая параллельна FE_1 ( FE_1CB — параллелограмм), то расстояние между скрещивающимися прямыми FE_1 и ED_1 равно расстоянию от любой точки прямой FE_1 (например, от C ) до плоскости сечения (BED_1) . Это расстояние мы обозначили как CH_1 в пункте а).

Найдем высоту CH_1 из прямоугольного треугольника C_1P_1C , вычислив его площадь двумя способами.

В равнобедренной трапеции BED_1C_1 : BE=2 (большая диагональ), D_1C_1=1 (ребро) (рис. 4).

Stereo_2_85_s

Рис. 4: К примеру 4.23

Боковые стороны ED_1 = BC_1 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} . EP_2 = \frac{BE-D_1C_1}{2} = \frac{2-1}{2}=\frac{1}{2} . Из \triangle ED_1P_2 D_1P_2 = \sqrt{ED_1^2 - EP_2^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - (1/2)^2} = \frac{\sqrt{7}}{2}.

В \triangle C_1P_1C CC_1=1 , CP_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} , C_1P_1 = \sqrt{CP_1^2 + CC_1^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{3}{4}+1} = \frac{\sqrt{7}}{2}.

Площадь \triangle C_1P_1C : S = \frac{1}{2} \cdot CP_1 \cdot CC_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{4}. С другой стороны: S = \frac{1}{2} \cdot C_1P_1 \cdot CH_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot CH_1. Приравниваем площади: \frac{\sqrt{7}}{4}CH_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \implies CH_1 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}.

Ответ: б) \frac{\sqrt{21}}{7} .