Куб. Углы между: плоскостями, прямой и плоскостью и прямыми в пространстве: Часть 4

Видео

Конспект

Угол между прямыми в пространстве

Пример 2.16

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 . Найдите угол между прямыми AB_1 и BC_1 (скрещивающимися диагоналями смежных граней, рис. 9).

Stereo_2_20

Рис. 9: К примеру 2.16

Stereo_2_21

Рис. 10: К примеру 2.16

Решение.

По определению угол между скрещивающимися прямыми AB_1 и BC_1 равен углу между BC_1 и C_1D \parallel B_1 A (рис. 10). Соединяя точки B и D , получаем равносторонний \triangle BC_1D , следовательно, искомый угол равен 60^\circ .

Ответ: \displaystyle 60^\circ .

Задача 2.17

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 . Найдите угол между прямой A_1B и прямой, соединяющей середины ребер C_1C и CD .

Ответ: 90^\circ .

Пример 2.18

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 . Найдите угол между прямыми A_1 B и B_1 D .

Stereo_2_22

Рис. 11: К примеру 2.18

Решение.

Построим сверху куб с таким же ребром (рис. 11). Проведем B_1 A_2 \parallel BA_1 . Тогда \angle A_2B_1D — искомый. Сооединяя точки A_2 и D , получаем \triangle A_2B_1D с искомым углом. Пусть сторона куба равна a , тогда A_2B_1 = a\sqrt 2 , B_1D = a\sqrt 3 . Из прямоугольного \triangle AA_2D получаем, что A_2D = a\sqrt 5 . По теореме, обратной теореме Пифагора, \triangle A_2B_1D прямоугольный, следовательно, искомый угол равен 90^\circ .

Ответ: 90^\circ .

Задача 2.19

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 . Найдите угол между прямыми B_1D и прямой, соединяющей точку B и середину ребра AA_1 .

Решение.

Пусть M — середина ребра AA_1 . Требуется найти угол между скрещивающимися прямыми B_1D и BM . Воспользуемся методом параллельного переноса.

Пусть M_1 — середина ребра BB_1 . Тогда четырехугольник A_1M_1BM является параллелограммом (т.к. A_1B параллельна и равна M_1M , рис. 12). Следовательно, прямая BM параллельна прямой A_1M_1 .

Пусть O — центр основания ABCD (точка пересечения диагоналей AC и BD ). В треугольнике BB_1D отрезок M_1O является средней линией, так как соединяет середину стороны BB_1 и середину диагонали BD . Следовательно, M_1O параллельна B_1D .

Таким образом, искомый угол между прямыми B_1D и BM равен углу между параллельными им прямыми M_1O и A_1M_1 , то есть углу \angle A_1M_1O .

Найдем этот угол, вычислив стороны треугольника \triangle A_1M_1O по теореме косинусов. Пусть ребро куба равна a .

В прямоугольном \triangle A_1B_1M_1 : A_1M_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1M_1^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

Пространственная диагональ куба B_1D = a\sqrt{3} . Так как M_1O — средняя линия \triangle BB_1D : M_1O = \frac{1}{2} B_1D = \frac{a\sqrt{3}}{2}

В прямоугольном \triangle A_1AO : A_1O = \sqrt{A_1A^2 + AO^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = a\sqrt{\frac{3}{2}}

Применим теорему косинусов для \triangle A_1M_1O : A_1O^2 = A_1M_1^2 + M_1O^2 - 2A_1M_1 \cdot M_1O\cos(\angle A_1M_1O) \cos(\angle A_1M_1O) = \frac{A_1M_1^2 + M_1O^2 - A_1O^2}{2 \cdot A_1M_1 \cdot M_1O} Подставляем найденные значения: \cos(\angle A_1M_1O) = \frac{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(a\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{15}}.

Stereo_2_17_s

Рис. 12: К задаче 2.19

Ответ: \displaystyle \arccos \frac{1}{\sqrt{15}} .