Куб. Углы между: плоскостями, прямой и плоскостью и прямыми в пространстве: Часть 2

Видео

Конспект

Пример 2.11

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 .

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B , A_1 и D_1 .

б) Найдите угол между плоскостями BA_1C_1 и BA_1D_1 .

Stereo_2_73

Рис. 3: К примеру 2.11

Решение.

а) Для построения сечения соединим в кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точки A_1 и B . Плоскость сечения пересекает грань DCC_1 по прямой, параллельной A_1B и проходит через точку D_1 , значит линия пересечения — D_1C (рис. 3). Таким образом, искомое сечение — A_1D_1CB .

б) Пересечением плоскости BA_1C_1 и куба является равносторонний треугольник A_1BC_1 . Линией пересечения плоскостей BA_1C_1 и BA_1D_1 является прямая BA_1 . Опустим перпендикуляр C_1M на AB_1 , точка M — середина BA_1 , так как треугольник сечения равносторонний. Пусть M_1 — середина отрезка D_1C , тогда MM_1 \parallel AD и лежит в плоскости A_1D_1CB . AD\bot AA_1B_1\Longrightarrow MM_1\bot AA_1D_1 , тогда MM_1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости AA_1D_1 , откуда MM_1\bot A_1B . Таким образом, \angle C_1MM_1 — искомый линейный угол.

Рассмотрим прямоугольный треугольник C_1MM_1 . Пусть сторона куба равна a , тогда MM_1=a , C_1M_1=\frac{a\sqrt 2}{2} , \tg C_1MM_1=\frac{1}{\sqrt{2}} .

Ответ: б) \arctan \frac{1}{\sqrt{2}}=\arccos \sqrt{\frac{2}{3}} .

Задача 2.12

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1 .

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его ребер AB , B_1C_1 и AD .

б) Найдите угол между плоскостью A_1BD и плоскостью, проходящей через середины ребер AB , B_1C_1 и AD .

Решение.

а) Построение сечения.

Пусть M_1 , M_2 , M_3 — середины ребер AB , B_1C_1 и AD соответственно (рис. 4).

Stereo_2_146_s

Рис. 4: К задаче 2.12

Соединяем точки M_1 и M_3 , лежащие в плоскости основания ABCD .

Так как секущая плоскость пересекает параллельные грани ABCD и A_1B_1C_1D_1 по параллельным прямым, проведем через точку M_2 прямую, параллельную M_1M_3 . Эта прямая пересечет ребро A_1D_1 в его середине, точке M_4 .

Продлим M_1M_3 и CB до их пересечения в точке P . Так как точки P и M_2 принадлежат одной грани BB_1C_C , соединим их. Получим точку M_5 — точку пересечения PM_2 и BB_1 — середину BB_1 . Плоскость пересекает параллельные грани ADD_1A_1 и BCC_1B_1 по параллельным прямым. Проведем M_3M_6 \parallel PM_2 . Соединяя точки M_1 и M_5 , M_6 и M_4 , завершаем построение сечения. Получаем, что сечение является правильным шестиугольником, вершины которого — середины ребер AB, AD, DD_1, D_1C_1, C_1B_1, B_1B .

б) Нахождение угла. Плоскость (BC_1D) параллельна плоскости сечения, поскольку M_5M_2 \parallel BC_1 , M_1M_3 \parallel BD . Плоскости (A_1BD) и (BC_1D) пересекаются по прямой BD , \angle A_1OC_1 — линейный угол двугранного угла между этими плоскостями.

Рассмотрим треугольник \triangle A_1OC_1 , где O — центр грани ABCD (точка пересечения диагоналей AC и BD ). Найдем угол \varphi = \angle A_1OC_1 по теореме косинусов. Пусть ребро куба равно a .

Найдем стороны треугольника \triangle A_1OC_1 :

A_1C_1 — диагональ верхней грани, A_1C_1 = a\sqrt{2} .

В прямоугольном \triangle A_1AO , катет A_1A=a , катет AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} . A_1O = \sqrt{A_1A^2 + AO^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = a\sqrt{\frac{3}{2}}

Аналогично, из \triangle C_1CO находим C_1O = a\sqrt{\frac{3}{2}} .

Применим теорему косинусов для \triangle A_1OC_1 : A_1C_1^2 = A_1O^2 + C_1O^2 - 2A_1O \cdot C_1O\cos\varphi \cos\varphi = \frac{A_1O^2 + C_1O^2 - A_1C_1^2}{2 \cdot A_1O \cdot C_1O} Подставляем найденные значения: \cos\varphi = \frac{\left(a\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(a\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 - (a\sqrt{2})^2}{2 \cdot a\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot a\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}

Угол между плоскостями равен \arccos\left(\frac{1}{3}\right) .

\sin\varphi = \sqrt{1-\cos^2\varphi} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \tg\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \frac{2\sqrt{2}/3}{1/3} = 2\sqrt{2} Ответ: \displaystyle \arctg 2\sqrt{2} .