Метод. координат. Решение задач.: Часть 3

Видео

Конспект

Пример 7.8

В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA_1 равно 4. На ребрах BC и C_1D_1 отмечены точки K и L соответственно, причем CK=5 , а C_1L=3 . Плоскость \gamma параллельна прямой BD и содержит точки K и L .

Докажите, что прямая A_1C перпендикулярна плоскости \gamma .

Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка A_1 , а основание — сечение данной призмы плоскостью \gamma .

Stereo_2_143_s Рис. 5: К примеру 7.8

Решение.

а) Введем декартову систему координат, как показано на рис. 5 (начало в точке B ). Тогда L(3,8,4) , K(0,3,0) , B(0,0,0) , D(8,8,0) , A_1(8,0,4) , C(0,8,0) . Векторы:

\vec{KL} = \{3, 5, 4\}

\vec{BD} = \{8, 8, 0\} \sim \{1,1,0\}

\vec{A_1C} = \{-8, 8, -4\} \sim \{2, -2, 1\}

Проверим перпендикулярность, вычислив скалярные произведения:

(\vec{A_1C}, \vec{KL}) \sim 6-10+4=0 \implies A_1C \perp KL .

(\vec{A_1C}, \vec{BD}) = -8\cdot 8 + 8\cdot 8 + (-4)\cdot 0 = 0 .

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как A_1C перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости \gamma , то A_1C \perp \gamma .

б) Объем пирамиды V = \frac{1}{3} S_{сеч} \cdot h . Высота h — это расстояние от точки A_1 до плоскости \gamma . В качестве вектора нормали к \gamma можно взять вектор \vec{A_1C} \sim \{-2,2,-1\} . Уравнение плоскости \gamma (опорная точка K(0,3,0) ): -2(x-0)+2(y-3)-1(z-0)=0 \implies -2x+2y-z-6=0. Длина вектора нормали |\vec{n}| = \sqrt{4+4+1}=3 . Нормированное уравнение: -\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}z-2=0. Найдем отклонение точки A_1(8,0,4) : \delta_{A_1} = -\frac{2}{3}(8) + 0 - \frac{1}{3}(4) - 2 = -\frac{26}{3}. Отсюда высота пирамиды h = d_{A_1} = |\delta_{A_1}| = \frac{26}{3} .

Найдем площадь сечения S_{KMLN} . Это трапеция. \displaystyle S = \frac{S_{proj}}{\cos\alpha} \vphantom{\int} . Проекция сечения на плоскость ABC — трапеция KM_1N_1N . S_{KM_1N_1N} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot (5\sqrt{2}+3\sqrt{2}) = 8 . Угол \alpha между плоскостью \gamma и ABC (нормаль \vec{k}=\{0,0,1\} ): \cos\alpha = \frac{|\vec{n}\cdot\vec{k}|}{|\vec{n}|} = \frac{|-1|}{3}=\frac{1}{3}. S_{KMLN} = \frac{S_{proj}}{\cos\alpha} = 8 \cdot 3 = 24 . Следовательно, объем пирамиды: V_{A_1KMLN} = \frac{1}{3}h \cdot S_{KMLN} = \frac{1}{3} \cdot \frac{26}{3} \cdot 24 = \frac{208}{3}.

Ответ: б) \displaystyle\frac{208}{3} .