Метод. координат. Решение задач.: Часть 4

Видео

Конспект

Пример 7.9

МГУ, внутрениий экзамен, 2014, №7(8).

В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 1. Высота призмы равна \sqrt{2} . Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.

Stereo_2_142_s

Рис. 6: К примеру 7.9

Решение.

Введем систему координат, как показано на рис. 6 (начало в центре основания O , ось x проходит через A ). Достроим призму до прямого параллелепипеда. Координаты вершин: \displaystyle A \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0 \right) , \displaystyle C_1 \left(0, - \frac{1}{2}, \sqrt{2} \right) , \displaystyle D \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0 \right) .

Рассмотрим плоскость, проходящую через AC_1 и параллельную A_1B . Это будет плоскость (AC_1D) , поскольку C_1D \parallel A_1B , следовательно, плоскость (AC_1D) \parallel A_1B по признаку параллельности прямой и плоскости. Построим вектор \vec{n} \perp \vec{DA} и \vec{n} \perp \vec{C_1A} .

\displaystyle \vec{DA} = \left\{\sqrt{3}, 0, 0 \right\} \sim \{1, 0, 0\} .

\displaystyle \vec{C_1A} = \left\{\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, -\sqrt{2} \right\} \sim \left\{\sqrt{3}, 1, -2\sqrt{2}\right\} .

Пусть \vec{n}=\{0, A, B\} . Тогда \begin{aligned}

(\vec{n}, \vec{DA})=0, & \\

(\vec{n}, \vec{C_1A})=0 &\implies A - 2\sqrt{2}B = 0.

\end{aligned} Пусть B=1 \implies A=2\sqrt{2} , тогда \displaystyle \vec{n} = \left\{0, 2\sqrt{2}, 1 \right\} . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно \vec{n} : 0(x-\sqrt{3}/2) + 2\sqrt{2}(y-0)+1(z-0)=0 \implies 2\sqrt{2}y+z=0. Нормируем его, |\vec{n}| = \sqrt{8+1}=3 . Тогда \frac{2\sqrt{2}}{3}y + \frac{z}{3} = 0. Найдем расстояние от точки B до этой плоскости. \delta_B = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}. Следовательно, \displaystyle d_B = |\delta_B|=\frac{\sqrt{2}}{3} .

Ответ: \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3} .

Пример 7.10

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины ребер AA_1=7, AB=16, AD=6 . Точка K — середина ребра C_1D_1 .

Докажите, что плоскость, проходящая через точку B перпендикулярно прямой AK , пересекает отрезок A_1K .

Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC .

Stereo_2_145_s

Рис. 7: К примеру 7.10

Решение.

а) Введем систему координат с началом в точке B . Ось x вдоль BA , ось y вдоль BC , ось z вдоль BB_1 (рис. 7). Координаты точек A(16,0,0) , K(8,6,7) , B(0,0,0) , A_1(16,0,7) . Вектор \vec{A_1K} = \{-8,6,7\} . Уравнение искомой плоскости: -8x+6y+7z=0. Запишем канонические уравнения прямой A_1K : \frac{x-16}{-8} = \frac{y-0}{6} = \frac{z-7}{0} = t. Параметрические уравнения: \begin{cases} x = 16-8t, \\ y = 6t, \\ z = 7. \end{cases} Отрезку A_1K будут соответствовать значения t \in [0,1] . Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, подставим параметрические уравнения в уравнение плоскости: -8(16-8t) + 6(6t) + 7(7) = 0 \implies 100t=79 \implies t=\frac{79}{100}. Так как t = \frac{79}{100} \in [0,1] , следовательно, плоскость пересекает отрезок A_1K .

б) Угол между плоскостями равен острому углу между их нормалями. Нормаль к искомой плоскости \vec{n}=\vec{A_1K}=\{-8,6,7\} . Нормаль к плоскости ABC (плоскость z=0 ) \vec{n_0}=\{0,0,1\} . \cos\varphi = \frac{|\vec{n}\cdot\vec{n_0}|}{|\vec{n}||\vec{n_0}|} = \frac{|7|}{\sqrt{64+36+49}\cdot 1} = \frac{7}{\sqrt{149}}. \sin\varphi = \sqrt{1-\cos^2\varphi} = \sqrt{1-\frac{49}{149}} = \frac{10}{\sqrt{149}}. \tg\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \frac{10/\sqrt{149}}{7/\sqrt{149}} = \frac{10}{7}.

Ответ: б) \displaystyle \tg\varphi = \frac{10}{7} .