Закон Джоуля - Ленца

Задача 6

Условие

Кольцо (см. рис.) свёрнуто из куска проволоки сопротивлением R=24 Ом. В точках A и B , лежащих на концах диаметра, на кольцо подано напряжение U=6 В. По кольцу, вращаясь вокруг центра, может скользить диаметральная перемычка, сопротивление которой пренебрежимо мало.

1. Какая мощность P будет рассеиваться на кольце, если перемычка составляет с диаметром A B угол \alpha=30^{\circ} ?

2. Перемычку вращают. В каком отношении n>1 перемычка делит каждое полукольцо при токе через перемычку I=\frac{2}{3} \ А ?

3. Какая мощность P_2 рассеивается на кольце в этом случае?

М1 Решение

Полуокружность, опирающаяся на перемычку и содержащая точку A делится ею на две части. Сопротивления этих частей пропорциональны центральным углам, на которые они опираются.

1. То есть для первого пункта схема будет выглядеть следующим образом:

М2 Соответственно суммарное сопротивление в первом пункте

R_1 = \frac{R}{12}(\frac{1 \cdot 5}{6} \cdot 2) = \frac{5}{36}R, и, соответственно, мощность, выделяющаяся на кольце

P = \frac{U^2}{R_1} = \frac{36U^2}{5R} = 10.8 \ Вт. 2. Пусть меньшая часть полуокружности теперь опирается на угол \alpha. Тогда большая опирается на угол \pi - \alpha. При этом n \alpha = \pi - \alpha по условию. Тогда \alpha = \pi/(n+1). Ток, текущий через перемычку равен разности сил токов, текущих через меньшую и большую доли полуокружности. Пусть по меньшей течет ток I_1, по большей I_2 . По второму правилу Кирхгофа

I_1 \cdot R \frac{\pi}{2(n+1)\pi} = I_2 \cdot R \frac{n\pi}{2(n+1)\pi}\ \Rightarrow \ I_1 = nI_2. Из симметрии

I_1 \cdot R \frac{\pi}{2(n+1)\pi} = U/2 \ \Rightarrow \ I_1 = \frac{(n+1)U}{R}. Подставляя

I_2 = \frac{n+1}{n}\frac{U}{R}. Разница составит I по условию:

I_1 - I_2 = \frac{U}{R}\frac{n^2 - 1}{n} = I \ \Rightarrow \ \frac{U}{R}n^2 - nI - \frac{U}{R} = 0. Решая квадратное уравнение получим:

n = \frac{I + \sqrt{I^2 + 4 U^2/R^2}}{2U/R} = 3. 3. Найдём общее сопротивление схемы.

R_2 = 2R \frac{\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{8}}{\frac{3}{8} + \frac{1}{8}} = \frac{3}{16}R. Соответственно, мощность P_2 = \frac{16U^2}{3R} = 8 \ Вт.

Ответ 1. P = 10.8 \ Вт; 2. n = 3; 3. P_2 = 8 \ Вт.

Задача 7

Условие

Электрические характеристики стартёра таковы, что мощность, выделяемая на нём в момент запуска двигателя автомобиля, максимальна. Определите, во сколько раз изменяется в момент запуска двигателя мощность, выделяемая на лампочке в салоне автомобиля. Считайте, что сопротивление лампочки подчиняется закону Ома. До начала работы двигателя все электроприборы питаются от аккумулятора (батареи с конечным внутренним сопротивлением).

Решение

Стоит рассмотреть пару неочевидное допущение, после которого задача становится совсем простой. Во-первых, разные системы автомобиля подключены к аккумулятору параллельно. Сложно представить себе автомобиль, в котором стеклоподъёмник не заработает, если перегорела лампочка (в случае последовательного подключения).

Далее пусть ЭДС аккумулятора (он же стартёр) равно \varepsilon, а внутреннее сопротивление равно r . Тогда напряжение на клеммах стартёра при запуске равно

U = \varepsilon - Ir, где I это ток через внутреннее сопротивление батареи. Тогда мощность выделяемая на стартёре это

N = IU = I(\varepsilon - Ir). Эта мощность максимальна при U = \varepsilon/2. Искомое: \frac{N_{кон}}{N_{нач}} = \frac{\varepsilon^2/4R}{\varepsilon^2/R} = \frac{1}{4}.

Ответ \frac{N_{кон}}{N_{нач}} = \frac{1}{4}.

Задача 8

Условие

Экспериментатор Глюк сконструировал источник тока с регулируемым на выходе напряжением. В прибор он встроил миникомпьютер, показывающий протекший через источник заряд и среднюю силу тока (отношение всего протекшего заряда ко времени работы источника). Глюк присоединил к источнику резистор и, включив установку, начал регулировать напряжение. В результате ему удалось снять зависимость средней силы тока через резистор от времени (см. рисунок).

М4 В процессе эксперимента компьютер дал сбой, и зависимость протекшего заряда от времени оказалась утерянной.

1) Восстановите зависимость протекшего через источник заряда от времени q(t) и постройте её график;

2) Определите сопротивление R резистора, если известно, что в точке A на нём выделялась мощность N_A=0,16 Вт;

3) Определите максимальную мощность, выделявшуюся на резисторе во время эксперимента.

Решение

1) Чтобы получить зависимость протекшего через источник заряда от времени, воспользуемся определением среднего тока:

I_{\mathrm{cp}}=\frac{q}{t}, \quad \mathrm{n} q=I_{\mathrm{cp}} t. Заряд, протекший через источник за время t , численно равен площади прямоугольника: q=I_{\mathrm{cp}} t . Найдя прошедший заряд для нескольких (>15) точек, построим зависимость q(t) (рис.).

М3 2) Поскольку участок графика I_{c p}(t) до точки А - линейный, силу тока в момент времени t_A можно найти из следующих соображений:

\begin{aligned}

& I_{\mathrm{cp}}=\frac{q}{t}=\alpha t, q=\alpha t^2; \\

& I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=\alpha \frac{(t+\Delta t)^2-t^2}{\Delta t} \approx \alpha \frac{2 t \Delta t}{\Delta t}=2 \alpha t=2 I_{\mathrm{cp}}(t) ;\\

& I_A=2 I_{\mathrm{cp}}\left(t_A\right)=6 \ мА.

\end{aligned} Сопротивление резистора найдем из закона Джоуля-Ленца: N_A = I_A^2 R; R = N_A / I_A^2 = 4,4 кОм.

3) Максимальной силе тока соответствует точка В с наибольшим угловым коэффициентом на графике q(t) :

t_B=3 c, \ I_{\max }=8.25 \ мА. Вновь воспользуемся законом Джоуля-Ленца: P_{\max }=R I_{\max }^2=0.3025 \text { Вт }.

Заметим, что максимальная сила тока и максимальная средняя сила тока достигаются не одновременно.

Ответ 1. см. решение; 2. R = 4,4 кОм. ; 3. P_{\max }=0.3025 \text { Вт}.