Бесконечные цепи. Метод наложения. Бесконечные сетки

Бесконечные цепи

Бесконечные цепи предоставляют принципиально новый класс задач, поскольку, в отличие от задач определения сопротивления любой конечной схемы правила Кирхгофа не дают полной и решаемой системы уравнений. Схема бесконечна, значит, при решении «в лоб» необходимо будет записать бесконечное количество уравнений для бесконечного количества контуров, что, конечно, невозможно.

Для бесконечных цепей, составленных из повторяющихся элементов, есть метод, позволяющий свести расчёт бесконечной цепи к расчёту цепи конечной. Раз цепь бесконечна и составлена повторением некоторого элемента, то если добавить к цепи такой элемент или убрать из цепи один такой элемент, её общее сопротивление не изменится.

Рассмотрим следующий пример: дана бесконечная цепь, сопротивление каждого резистора известно, одинаково и равно R , необходимо найти сопротивление между точками А и В.

3л1 Ясно, что цепь состоит из следующих повторяющихся элементов:

3л2 Представим цепь в виде одного отдельного такого элемента и всей оставшейся цепи. Как следует из размышлений выше – оставшаяся цепь будет иметь такое же сопротивление как и вся цепь.

Значит эквивалентная схема будет выглядеть так:

3л3 Получаем (из последовательности и параллельности соединений):

R_{A B}=R+\frac{R R_{A B}}{R+R_{A B}} Преобразуем:

R R_{A B}+R_{A B}^2=R^2+R R_{A B}+R R_{A B} Продолжаем:

R_{A B}^2-R^2-R R_{A B}=0 Окончательно (отбрасывая отрицательный корень):

R_{A B}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} R Краткий алгоритм решения:

1. Находим повторяющийся элемент схемы.

2. Составляем эквивалентную схему, представляя схему как соединение повторяющегося элемента и такой же схемы.

3. Записываем правила Кирхгофа/соображения параллельности-последовательности соединений.

4. Решаем систему уравнений.