ВАХ. Нелинейные элементы Часть 2: ВАХ. Нелинейные элементы

Задача 1

Условие

К электрической цепи (рис. слева), составленной из одинаковых резисторов R = 1 Ом, нелинейного элемента с неизвестной вольт-амперной характеристикой и идеального амперметра, подключён источник, напряжение которого можно изменять. Зависимость показаний амперметра от напряжения источника задана (рис. справа).

Положительное направление тока указано на левом рисунке. Восстановите по этим данным вольт-амперную характеристику нелинейного элемента.

vah4 Решение

Определим силу тока и напряжение на элементе при силе тока I через амперметр и напряжении U_{AB} = U на входе цепи.

Пусть U_{DB} = U_3 , U_{CB} = U_1 , U_{AD} = U_2 = U - U_3 , U_{CD} = IR (рис.)

vah4r_2 Тогда для суммы токов в узле D: I + I_2 - I_3 = 0, откуда \frac{U - U_3}{R} + I = \frac{U_3}{R}; U_3 = \frac{U + IR}{2}. Cила тока через элемент, учитывая написанное выше: I_э = I + I_1 = I + \frac{U_1}{R} = I + \frac{IR + U_3}{R} = \frac{5}{2}I + \frac{U}{2R}. Напряжение на элементе: U_э = U - IR - U_3 = \frac{U - 3IR}{2}. Рассмотрим участок зависимости I(U) в диапазоне напряжений от U = 0 В до U = 5.5 В.

Так как на этом участке сила тока нелинейного элемента линейно зависит от напряжения и необходимые зависимости также линейны, график I_э(U_э) — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек: U = 0 \ В,\ I_э = 0 \ А, \ U_э = 0 \ В, U = 5.5 \ В, \ I_э = 4 \ А, \ U_э = 2 \ В. Аналогично для участка от U = 5.5 В до U = 10.5 В. Сила тока не зависит от напряжения вплоть до U_э = 6 В.

Окончательно, зависимость I_Э(U_Э) выглядит так:

vah4r Задача 2

Условие

Некоторые элементы электрических цепей являются нелинейными, то есть сила тока, протекающего через них, не пропорциональна приложенному напряжению. Допустим, что у нас есть лампа накаливания, для которой сила тока I_л пропорциональна \sqrt{U_л} , диод, у которого I_д пропорциональна U^2_д , и источник постоянного напряжения.

При этом и лампа, и диод обладают одинаковым свойством: если подключить любой из этих элементов к источнику в качестве нагрузки, то мощность тепловых потерь на нагрузке будет максимально возможной для данного источника. Если подключить к источнику лампу и диод, соединив их последовательно, то мощность потерь на такой нагрузке будет равна P_1 = 7.2 Вт.

Какой будет мощность, если в качестве нагрузки к источнику присоединить лампу и диод, соединенные параллельно?

Решение

Сначала установим, при каком требовании к нагрузке мощность потерь максимальна для данного источника. Пусть ЭДС и внутреннее сопротивление источника равны соответственно \varepsilon и r , а сила тока, протекающего через нагрузку равна I . Тогда мощность потерь P_н = IU_н = I(\varepsilon - Ir) . В зависимости от сопротивления нагрузки R сила тока может изменяться от нуля (если R бесконечно велико) до тока короткого замыкания источника I_0 = \varepsilon/r (при R = 0 ). Легко заметить, что максимум P_н соответствует I_1 = \varepsilon/2r = I_0/2 (это координата вершины параболы – графика функции P_н(I) ). В этом случае сопротивление нагрузки R = r , а напряжение U_н = IR = \varepsilon/2 . Значит, при таком напряжении сила тока, протекающего и через лампу, и через диод равна I_1 , и связь тока с напряжением для них дается выражениями: I_л = \frac{I_0}{2} \sqrt{\frac{2U_л}{\varepsilon}} = \sqrt{\frac{I_0U_л}{2r}}, \ \ \ \ \ I_д = \frac{I_0}{2} \frac{4U_д^2}{\varepsilon^2} = \frac{2U_д^2}{I_0r^2}. Построив графики вольтамперных характеристик (ВАХ) лампы и диода, можно графически построить и графики ВАХ двух нагрузок, соответствующих последовательному и параллельному соединению.

vah5r Если в качестве единиц масштабов по осям тока и напряжения выбрать соответственно I_0 и \varepsilon , и построить их на одном графике (рисунок 3), то они будут симметричны относительно биссектрисы координатного квадранта. Токи через источник для каждой из нагрузок ( I_1 и I_2 ) определяются решением уравнения U(I) = \varepsilon - Ir , то есть пересечением на графике ВАХ нагрузки с прямой: \frac{U}{\varepsilon} = 1 - \frac{I}{I_0},

vah5r_2 которая также обладает указанной симметрией, поэтому точки пересечения расположены также симметрично, и поэтому: \frac{I_1}{I_0} + \frac{I_2}{I_0} = 1 \ \Rightarrow \ I_1 + I_2 = I_0. Откуда: P_2 = I_2(\varepsilon - I_2r) = rI_2(I_0 - I_2) = rI_1(I_0 - I_1) = P_1 = 7.2 \ Вт.

Ответ P_2 = 7.2 \ Вт.