Электронагреватель

Задача 1

Условие

На спирали кипятильника при подключении к сети напряжением 220 В выделяется мощность 1 кВт. Масса спирали кипятильника составляет 100 г. Удельное сопротивление материала кипятильника \rho = 10^{-6} \ Ом \cdot \ м , плотность материала кипятильника d = 9 г/см ^3 .

А) Каково сопротивление кипятильника? Ответ представьте в омах и округлите до целых.

Б) Сколько времени потребуется, чтобы нагреть 1 кг воды, взятой из ведра со смесью воды и льда, до кипения? Считайте, что вся выделяемая на кипятильнике мощность идет на нагревание воды, а потерями тепла можно пренебречь. Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг \cdot ^{\circ} C) . Ответ представьте в минутах и округлите до целых.

В) Какова длина спирали кипятильника? Ответ представьте в метрах и округлите до второй значащей цифры.

Г) Какова толщина спирали кипятильника? Сечение спирали считайте круглым. Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры.

Решение

А) По закону Джоуля-Ленца R = U^2/P = 48 \Omega.

Б) Из уравнения теплового баланса P \tau = c m \Delta T \ \Rightarrow \ \tau = \frac{cm_в \Delta T}{P} = 7 \ минут.

В) Из определения плотности m = d l S, из определения сопротивления R = \frac{\rho l}{S}, а из пункта А) R = U^2/P. Собирая воедино: U^2/P = \frac{\rho d l^2}{m} \ \Rightarrow \ l = \sqrt{\frac{m U^2}{\rho d P}} = 23 \ м.

Г) Из определения плотности m = d l S, из определения сопротивления R = \frac{\rho l}{S}, а из пункта А) R = U^2/P. Собирая воедино: \frac{U^2}{P} = \frac{\rho m}{d S^2} \ \Rightarrow \ S = \sqrt{\frac{\rho m P}{U^2 d}}. Из определения площади круга \frac{\pi D^2}{4} = \sqrt{\frac{\rho m P}{U^2 d}} \ \Rightarrow \ D = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt[4]{\frac{\rho m P}{U^2 d}}.

Ответ А) R=48 \Omega ; Б) \tau = 7 \ минут ; В) l =23 \ м ; Г) D = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt[4]{\frac{\rho m P}{U^2 d}} .

Задача 2

Условие

Дачный домик отапливается с помощью электрических батарей. При температуре батарей t_{\text {Б }}=40^{\circ} \mathrm{C} и температуре наружного воздуха t_1=-10^{\circ} \mathrm{C} в домике устанавливается температура t=20^{\circ} \mathrm{C} . Во сколько раз надо увеличить силу тока в батареях, чтобы прежняя температура в комнате поддерживалась в холодные дни при температуре t_2=-25^{\circ} \mathrm{C} ? Какова при этом будет температура батарей t_{Б2} ? Считайте электрическое сопротивление нагревательных элементов не зависящим от температуры.

Решение

Запишем закон Фурье для пар "батарея-домик" и "домик-улица". В случае, когда температуры установились, потоки тепла подводимого к домику и отводимого от него, равны:

\begin{cases}

\alpha (t_{Б} - t) = \beta (t - t_1) \\

\alpha (t_{Б2} - t) = \beta (t - t_2)

\end{cases}. После почленного деления:

\frac{t_{Б} - t}{t_{Б2} - t} = \frac{t - t_1}{t - t_2}, откуда

t_{Б2} = t + \frac{(t_{Б} - t)(t - t_2)}{t - t_1} =50^{\circ} C. Возвращаясь к закону Фурье, получаем, что мощность, выделяемая батареей увеличилась в (t_{Б2} - t)/(t_{Б} - t) = 1.5 раза. При неизменном сопротивлении (учитывая закон Джоуля-Ленца) значение I^2 должно увеличиться в 1.5 раза. Значит I увеличилась в \sqrt{3/2} раз.

Ответ t_{Б2} = 50^{\circ} C.

Задача 3

Условие

Электроплитка имеет две спирали (два нагревательных элемента), которые можно включать в сеть либо по отдельности, либо соединяя их последовательно или параллельно. Будем считать, что сопротивления спиралей не зависят от температуры. Оказалось, что если включить в сеть только первую спираль, то электроплитка нагревается до температуры t_1=180^{\circ} \mathrm{C} , а если включить только вторую спираль, то плитка нагревается до температуры t_2=220^{\circ} \mathrm{C} .

До какой температуры нагреется плитка при:

1. последовательном включении спиралей,

2. параллельном включении спиралей.

Указание. Поток тепла от плитки во внешнюю среду пропорционален разности температур между плиткой и воздухом в комнате. Температуру воздуха считать постоянной и равной t_0=20^{\circ} \mathrm{C} .

Решение

Обозначим электрические сопротивления спиралей через R_1 и R_2 , напряжение в сети - через U . Запишем условия теплового баланса для всех четырех случаев:

\begin{gathered}

\frac{U^2}{R_1}=A\left(t_1-t_0\right) ; \\

\\

\frac{U^2}{R_2}=A\left(t_2-t_0\right) ; \\

\\

\frac{U^2}{R_1+R_2}=A\left(t_3-t_0\right) ;\\

\\

\frac{U^2\left(R_1+R_2\right)}{R_1 R_2}=A\left(t_4-t_0\right) .

\end{gathered} Здесь t_3 и t_4 - температуры плитки при последовательном и параллельном соединении спиралей, R_3=R_1+R_2, R_4=R_1 R_2 /\left(R_1+R_2\right)- сопротивления спиралей при последовательном и параллельном соединении, A - некоторый коэффициент пропорциональности. Разделив почленно второе уравнение на первое, получим:

\frac{R_1}{R_2}=\frac{t_2-t_0}{t_1-t_0}=\frac{200}{160}=\frac{5}{4}. Теперь разделим второе на третье, тогда:

\frac{R_1+R_2}{R_2}=\frac{t_2-t_0}{t_3-t_0} \text { или } 1+\frac{R_1}{R_2}=\frac{200}{t_3-20}, \text { откуда } t_3 \approx 109^{\circ} \mathrm{C} . Таким образом, при последовательном соединении спиралей плитка нагреется всего до t_3 \approx 109^{\circ} \mathrm{C} .

Для определения t_4 разделим четвёртое уравнение на третье: \frac{(R_1+R_2)^2}{R_1R_2} = \frac{t_4-t_0}{t_3-t_0} \quad \Rightarrow \quad \frac{R_1}{R_2} + 2 + \frac{R_2}{R_1} = \frac{t_4 - t_0}{t_3 - t_0} \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{4} + 2 + \frac{4}{5} = \frac{t_4 - 20}{89} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad t_4 \approx 380^{\circ} \mathrm{C}.

Ответ 1. t_3 \approx 109^{\circ} C ; 2. t_4 \approx 380^{\circ} \mathrm{C} .