Электронагреватель

Задача 1 Условие На спирали кипятильника при подключении к сети напряжением 220 В выделяется мощность 1 кВт. Масса спирали кипятильника составляет 100 г. Удельное сопротивление материала кипятильника $\rho = 10^{-6} \ Ом \cdot \ м$, плотность материала кипятильника $d = 9$ г/см$^3$. А) Каково сопротивление кипятильника? Ответ представьте в омах и округлите до целых. Б) Сколько времени потребуется, чтобы нагреть 1 кг воды, взятой из ведра со смесью воды и льда, до кипения? Считайте, что вся выделяемая на кипятильнике мощность идет на нагревание воды, а потерями тепла можно пренебречь. Удельная теплоемкость воды $4200 Дж/(кг \cdot ^{\circ} C)$. Ответ представьте в минутах и округлите до целых. В) Какова длина спирали кипятильника? Ответ представьте в метрах и округлите до второй значащей цифры. Г) Какова толщина спирали кипятильника? Сечение спирали считайте круглым. Ответ представьте в миллиметрах и округлите до второй значащей цифры. Решение А) По закону Джоуля-Ленца $$R = U^2/P = 48 \Omega.$$ Б) Из уравнения теплового баланса $$P \tau = c m \Delta T \ \Rightarrow \ \tau = \frac{cm_в \Delta T}{P} = 7 \ минут.$$ В) Из определения плотности $$m = d l S,$$ из определения сопротивления $$R = \frac{\rho l}{S},$$ а из пункта А) $$R = U^2/P.$$ Собирая воедино: $$U^2/P = \frac{\rho d l^2}{m} \ \Rightarrow \ l = \sqrt{\frac{m U^2}{\rho d P}} = 23 \ м.$$ Г) Из определения плотности $$m = d l S,$$ из определения сопротивления $$R = \frac{\rho l}{S},$$ а из пункта А) $$R = U^2/P.$$ Собирая воедино: $$\frac{U^2}{P} = \frac{\rho m}{d S^2} \ \Rightarrow \ S = \sqrt{\frac{\rho m P}{U^2 d}}.$$ Из определения площади круга $$\frac{\pi D^2}{4} = \sqrt{\frac{\rho m P}{U^2 d}} \ \Rightarrow \ D = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt[4]{\frac{\rho m P}{U^2 d}}.$$ Ответ А) $R=48 \Omega$; Б) $\tau = 7 \ минут$; В) $l =23 \ м$; Г) $D = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt[4]{\frac{\rho m P}{U^2 d}}$. Задача 2 Условие Дачный домик отапливается с помощью электрических батарей. При температуре батарей $t_{\text {Б }}=40^{\circ} \mathrm{C}$ и температуре наружного воздуха $t_1=-10^{\circ} \mathrm{C}$ в домике устанавливается температура $t=20^{\circ} \mathrm{C}$. Во сколько раз надо увеличить силу тока в батареях, чтобы прежняя температура в комнате поддерживалась в холодные дни при температуре $t_2=-25^{\circ} \mathrm{C}$? Какова при этом будет температура батарей $t_{Б2}$? Считайте электрическое сопротивление нагревательных элементов не зависящим от температуры. Решение Запишем закон Фурье для пар <<батарея-домик>> и <<домик-улица>>. В случае, когда температуры установились, потоки тепла подводимого к домику и отводимого от него, равны: $$ \begin{cases} \alpha (t_{Б} - t) = \beta (t - t_1) \\ \alpha (t_{Б2} - t) = \beta (t - t_2) \end{cases}. $$ После почленного деления: $$ \frac{t_{Б} - t}{t_{Б2} - t} = \frac{t - t_1}{t - t_2}, $$ откуда $$ t_{Б2} = t + \frac{(t_{Б} - t)(t - t_2)}{t - t_1} =50^{\circ} C. $$ Возвращаясь к закону Фурье, получаем, что мощность, выделяемая батареей увеличилась в $(t_{Б2} - t)/(t_{Б} - t) = 1.5$ раза. При неизменном сопротивлении (учитывая закон Джоуля-Ленца) значение $I^2$ должно увеличиться в 1.5 раза. Значит $I$ увеличилась в $\sqrt{3/2}$ раз. Ответ $t_{Б2} = 50^{\circ} C.$ Задача 3 Условие Электроплитка имеет две спирали (два нагревательных элемента), которые можно включать в сеть либо по отдельности, либо соединяя их последовательно или параллельно. Будем считать, что сопротивления спиралей не зависят от температуры. Оказалось, что если включить в сеть только первую спираль, то электроплитка нагревается до температуры $t_1=180^{\circ} \mathrm{C}$, а если включить только вторую спираль, то плитка нагревается до температуры $t_2=220^{\circ} \mathrm{C}$. До какой температуры нагреется плитка при: 1. последовательном включении спиралей, 2. параллельном включении спиралей. Указание. Поток тепла от плитки во внешнюю среду пропорционален разности температур между плиткой и воздухом в комнате. Температуру воздуха считать постоянной и равной $t_0=20^{\circ} \mathrm{C}$. Решение Обозначим электрические сопротивления спиралей через $R_1$ и $R_2$, напряжение в сети - через $U$. Запишем условия теплового баланса для всех четырех случаев: $$ \begin{gathered} \frac{U^2}{R_1}=A\left(t_1-t_0\right) ; \\ \\ \frac{U^2}{R_2}=A\left(t_2-t_0\right) ; \\ \\ \frac{U^2}{R_1+R_2}=A\left(t_3-t_0\right) ;\\ \\ \frac{U^2\left(R_1+R_2\right)}{R_1 R_2}=A\left(t_4-t_0\right) . \end{gathered} $$ Здесь $t_3$ и $t_4$ - температуры плитки при последовательном и параллельном соединении спиралей, $R_3=R_1+R_2, R_4=R_1 R_2 /\left(R_1+R_2\right)-$ сопротивления спиралей при последовательном и параллельном соединении, $A$ - некоторый коэффициент пропорциональности. Разделив почленно второе уравнение на первое, получим: $$ \frac{R_1}{R_2}=\frac{t_2-t_0}{t_1-t_0}=\frac{200}{160}=\frac{5}{4}. $$ Теперь разделим второе на третье, тогда: $$ \frac{R_1+R_2}{R_2}=\frac{t_2-t_0}{t_3-t_0} \text { или } 1+\frac{R_1}{R_2}=\frac{200}{t_3-20}, \text { откуда } t_3 \approx 1...