ВАХ. Нелинейные элементы Часть 2: ВАХ. Нелинейные элементы

Задача 3

Условие

Нелинейный элемент Z имеет вольт-амперную характеристику I_Z = \alpha U^2_Z , где \alpha = 0.07 А/В ^2 . Получите формулу зависимости силы тока I от напряжения в цепи, составленной из бесконечного числа нелинейных элементов Z .

vah6 Решение

Так как все элементы одинаковы, токи в каждом узле будут делиться поровну, как показано на рисунке.

vah6r Тогда напряжение на элементах: U_1 = \sqrt{\frac{I}{\alpha}}, \ \ U_2 = \sqrt{\frac{I}{2\alpha}}, \ \ U_3 = \sqrt{\frac{I}{4\alpha}}, \ \ldots \ \ . Напряжение, приложенное к цепи: U = 2(U_1 + U_2 + U_3 + ...) = 2\sqrt{\frac{I}{\alpha}}(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} + ...) = 2\sqrt{\frac{I}{\alpha}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}. Тогда I = \alpha U^2\frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{8}.

Ответ I = \alpha U^2\frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{8}.

Задача 4

Условие

Теоретик Баг предложил экспериментатору Глюку определить схему электрического «чёрного ящика» (ЧЯ) с двумя выводами. В ящике находятся два одинаковых диода и два разных резистора. Вольт-амперная характеристика (ВАХ) «чёрного ящика» приведена на левом рисунке, а ВАХ диода — на правом рисунке. Восстановите cхему ЧЯ и определите сопротивление каждого из резисторов.

vah7 Решение

Поскольку на ВАХ присутствуют два излома, то в цепи два диода включены последовательно. Так как ток через ЧЯ начинает течь при достижении напряжения 0.5 В, следует считать, что к одному из диодов параллельно не подключены резисторы. Для удобства дальнейшего анализа, перерисуем ВАХ чёрного ящика, исключив из неё участок с одиночным диодом. Получим характеристику, изображенную на рисунке:

vah7r Так как теперь ВАХ содержит излом, а сила тока линейно зависит от напряжения, мы можем сделать вывод, что в цепи есть резистор, включенный параллельно диоду (схема на левом рисунке) или диоду с последовательно соединенным с ним резистором (схема на правом рисунке).

vah7r_2 Вторая схема не соответствует фрагменту цепи ЧЯ, так излом ВАХ происходит при напряжении большем, чем напряжение открытия U_0 = 0.5 В. Таким образом остается проанализировать первую схему.

Пока диод закрыт, сила тока в цепи пропорциональна напряжению, а коэффициент пропорциональности найдем, взяв напряжение и силу тока для точки излома ВАХ: R_{1, \ 2} = R_1 + R_2 = 750 мВ/25 мА = 30 \ Ом. В момент открытия диода, напряжение на нём, а значит и на резисторе R1, будет равно U_0 = 0.5 В. Значит: R_1 = 500мВ/25мА = 20 \ Ом. Сопротивление резистора R_2 = R_{1, \ 2} - R_1 = 10 Ом. Изобразим цепь ЧЯ и укажем на ней значения сопротивлений резисторов:

vah7r_3 Ответ R_1 = 20 \ Ом ; R_2 = 10 Ом ; схему ЧЯ смотри в решении.

Задача 5

Условие

Электрическая цепь (рисунок слева) состоит из 2016 звеньев, состоящих из одинаковых диодов и резисторов. Вольтамперная характеристика диода приведена на рисунке справа, напряжение U_d = 1 В. Сопротивление каждого резистора R = 1 Ом. На вход схемы подаётся постоянное напряжение U_0 .

vah8 1) Определите силы токов через диоды и через резисторы при входном напряжении U_0 = 4.4 В.

2) Постройте вольтамперную характеристику схемы (зависимость тока I_0 от U_0 ) в диапазоне от 0 В до 3 В.

Решение

1) При данном U_0 = 4.4 В открыты только первые 4 диода, поэтому на каждом из «открытых» диодов падает напряжение, равное U_d = 1 В. По самому дальнему от места подключения источника питания резистору течёт ток силой меньше 1 А.

Токи через резисторы равны: I_{R_1} = 3.4 A, \ \ I_{R_2} = 2.4 A, \ \ I_{R_3} = 1.4 A, \ \ I_{R_4} = 0.4 A. Токи через диоды равны: I_{D_1} = 7.6 A, \ \ I_{D_2} = 4.2 A, \ \ I_{R_3} = 1.8 A, \ \ I_{R_4} = 0.4 A.

2) При напряжении U_{AB} < 1 В ток в цепи вообще не течет. При напряжении U_{AB} от 1 В до 2 В ток идет через первый диод и первый резистор. Сила тока в этом случае равна: I = \frac{U_{AB} - 1 \ В}{1 \ Ом}. В диапазоне от 2 В до 3 В открыты первый и второй диоды и токи текут по двум резисторам. ВАХ выглядит так, как показано на рисунке

vah8r Ответ I_{R_1} = 3.4 A, \ \ I_{R_2} = 2.4 A, \ \ I_{R_3} = 1.4 A, \ \ I_{R_4} = 0.4 A;I_{D_1} = 7.6 A, \ \ I_{D_2} = 4.2 A, \ \ I_{R_3} = 1.8 A, \ \ I_{R_4} = 0.4 A; ВАХ смотри в решении.

Задача 6

Условие

На рисунке приведена ВАХ диода, включенного в схему справа.

3dop ЭДС источника напряжения меняется со временем как

\varepsilon = \alpha t, где t это время прошедшее с начала работы схемы, а \alpha это коэффициент равный 0.01 \ В/с . Сколько теплоты выделилось на диоде за время \tau = 200 \ с с начала работы схемы? U_0 = 0.5 \ В, R = 100 \ \Omega.

Решение

Некоторое время t_0 ток не идёт, поскольку напряжение на диоде не достигло U_0 . Очевидно, что

t_0 = \frac{U_0}{\alpha}. После открытия диода, силу тока можно найти из второго правила Кирхгофа:

I = \frac{\varepsilon - U_0}{R} = \frac{\alpha t - U_0}{R}. Так как I(t) это линейная зависимость, среднюю силу тока можно найти как среднее арифметическое начального и конечного тока:

I_{ср} = \frac{0 + \alpha \tau - U_0}{2R}. По закону Джоуля-Ленца:

N_{ср} = I_{ср} U_0 = \frac{\alpha \tau U_0}{2R} - \frac{U_0^2}{2R}. Окончательно

Q = N_{ср} (\tau - t_0) = U_0 (\tau - \frac{U_0}{\alpha})\frac{\alpha \tau - U_0}{2R} \approx 0.56 \ Дж. Ответ Q\approx 0.56 \ Дж.