Правила Кирхгофа. Метод узловых потенциалов. Симметрия

Задача 1

В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, напряжение между зажимами C и D равно U_{CD} = 15 В. Известно, что R >> r .

Определите показания идеального вольтметра, подключённого к клеммам A и B.

kir2 Решение:

Так как R >> r при расстановке потенциалов в точках E и F можно воспользоваться следующей схемой:

kir2r

Таким образом \phi_E = \frac{1}{3}U_{CD} = 5 В, \ \phi_F = \frac{2}{3}U_{CD} = 10 В , если мы принимаем \phi_D = 0 .

Теперь рассмотрим отдельно "внутреннюю" схему:

kir2r_2 Получаем, что \phi_A = \frac{4}{5}(\phi_F - \phi_E) + \phi_E = 9 В, \ \phi_B = \frac{3}{5}(\phi_F - \phi_E) + \phi_E = 8 В .

И тогда U_{AB} = \phi_A - \phi_B = 1 В .

Задача 2

Определите эквивалентное сопротивление проволочной фигуры, показанной на рисунке, если сопротивление каждого проводника (вне зависимости от его длины) равно 36 Ом. Ответ выразите в Омах и округлите до целых.

8_1_1с_2 Решение:

Перерисуем схему в эквивалентную, обозначив токи римскими цифрами и воспользовавшись симметрией:

8_1_1с_3 Запишем второе правило Кирхгофа для доступных контуров: \begin{cases}

3I/2 = III + II \\

3III + I/2 = II - III

\end{cases} Преобразуя: \begin{cases}

3I = 2III + 2II \\

8III + I = 2II

\end{cases} И, наконец: \begin{cases}

6.5III = II \\

5III = I

\end{cases} Общий ток J = I + 2II = 18III , общее напряжение U = R(3.5I + III) = 18.5 III R , тогда общее сопротивление R = \frac{U}{J} = \frac{18.5R}{18} = \frac{37}{36}R