Правила Кирхгофа. Метод узловых потенциалов. Симметрия
Физика, 8 класс
Задача 3 Участок AB электрической цепи состоит из одинаковых резисторов с одинаковыми сопротивлениями R. Найдите общее сопротивление участка AB. Решение: Перерисуем схему, чтобы её симметрия была боле...
Задача 3
Участок AB электрической цепи состоит из одинаковых резисторов с одинаковыми сопротивлениями R. Найдите общее сопротивление участка AB.
Решение:
Перерисуем схему, чтобы её симметрия была более очевидна.
Расставим токи на одной половине (вторая половина аналогично заполняется), пользуясь первым правилом Кирхгофа.
Теперь можем записать второе правило Кирхгофа для доступных контуров:
\begin{cases}
2I_1 - I_2 = I/2 - I_1 \\
I_2 = I_1 + I/2 - 2I_2
\end{cases} То есть \begin{cases}
3I_1 = I_2 + I/2 \\
3I_2 = I_1 + I/2
\end{cases} И наконец \begin{cases}
I_2 = I_1 \\
I = 4 I_2
\end{cases} Общее сопротивление R = \frac{U_{общ}}{I_{общ}} = \frac{(I + I_1 + I_2)R}{I} = \frac{6}{4}R = \frac{3}{2}R
Задача 4
Из проволоки сделали правильную четырёхугольную пирамиду, все рёбра которой имеют одинаковое сопротивление R . К серединам двух соседних (перпендикулярных) рёбер основания подсоединили выводы A и B омметра — прибора для измерения сопротивлений. Что покажет омметр?
Решение:
Перерисуем схему в эквивалентную:
Уберём рёбра, соединяющие узлы, лежащие на оси симметрии:
8_1_1с_14 И, наконец, перерисуем в совсем простой форме
8_1_1с_15 И посчитаем общее сопротивление, как комбинацию последовательных и параллельных:
R_{общ} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}, \ где \ R_1 = 2R/2 + \frac{1}{2}2R = 2R, \ R_2 = R, подставляя R_{общ} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R.
Задача 5
В схеме, изображенной на рисунке, все резисторы одинаковые и имеют сопротивление R . Найдите сопротивление между точками A и B этой схемы.
8_1_1с_10 Решение:
Построим ось симметрии и уберём резисторы перпендикулярные ей:
8_1_1с_16 Рассмотрим отдельно такую часть цепи:
8_1_1с_17 Расставим токи, пользуясь первым правилом Кирхгофа и симметрией.
8_1_1с_18 Решим систему уравнений (второе правило Кирхгофа для всех доступных контуров):
\begin{cases}
2I_1 = I_2 + I_3 \\
6I_3 + 2I_1 = 2I_2 - 2I_3
\end{cases} Преобразуя:
\begin{cases}
I_1 = 5I_3 \\
I_2 = 9I_3
\end{cases} Значит сопротивление этой части цепи R_{CD} = \frac{(3I_2 - I_3)R}{I_1 + I_2} = \frac{26I_3R}{14I_3} = \frac{26}{14}R. И тогда общее сопротивление цепи в два раза меньше (параллельное соединение двух одинаковых резисторов): R_{AB} = \frac{1}{2}R_{CD} = \frac{13}{14}R