Мост Уитстона

Мост Уитстона

Мостом Уитстона называют фрагмент цепи, изображённый на рисунке ниже: (впрочем, резисторы могут быть заменены другими элементами)

му8 Сбалансированным мостом называют мост Уитстона, в котором по центральному резистору не течёт ток. Получим условие сбалансированности моста. Пусть потенциал точки между резисторами R_1 и R_2 равен \varphi_1 . Тогда, если ток не течёт, такой же потенциал и у точки между резисторами R_3 и R_4 . Пусть потенциал у левой клеммы моста равен \varphi_0, а у правой клеммы потенциал примем за нулевой.

Тогда равенство токов, текущих через резисторы R_3 и R_4 , а также через резисторы R_1 и R_2 , запишется следующим образом:

\begin{cases}

(\varphi_0 - \varphi_1)/R_1 = \varphi_1/R_2 \\

(\varphi_0 - \varphi_1)/R_3 = \varphi_1/R_4

\end{cases} или, объединяя:

\frac{R_3}{R_1} = \frac{R_4}{R_2}. Можно представить полученное условие и в других формах:

R_1 R_4 = R_2 R_3 или

\frac{R_3}{R_4} = \frac{R_1}{R_2}. На основе сбалансированного моста можно получить довольно точную измерительную схему, вставив вместо центрального резистора миллиамперметр, способный улавливать даже очень маленький ток. Если у нас есть неизвестный резистор и набор известных резисторов, то, сбалансировав мост, мы можем легко найти неизвестный резистор из условия сбалансированности мостика.

Задача 1

Условие

Электрическая цепь состоит из 9 резисторов и идеального вольтметра (см. рисунок). Сопротивление трех резисторов R_x, R_y и R_z неизвестны, сопротивления остальных: R_1=1 \ кOм, \ R_2= 2 кОм, \ R_3=3 \ кОм .

При подключении источника с постоянным напряжением U_0=10 В к точкам \mathbf{A} и \mathbf{B} вольтметр показывает U_1=4 \ В , при подключении того же источника к точкам \mathbf{A} и \mathbf{C} показания вольтметра U_2=5 B.

Определите:

1. значения сопротивлений R_x, R_y и R_z ;

2. значения силы тока через источник при подключении его к точкам \mathbf{A} и \mathbf{B}\left(I_{A B}\right) и к точкам \mathbf{A} и \mathbf{C}\left(I_{A C}\right) .

му1 Решение

Перерисуем схему в виде, показанном на левом рисунке. Здесь R_{B C}- сопротивление участка схемы B C , который может быть преобразован (правый рисунок) в сбалансированный мостик с не зависящим от R_{\mathrm{z}} сопротивлением R_{B C}=2 кОм.

Таким образом, R_z может быть любым. Показания вольтметра при подключении источника к А и В:

U_1=U_0 \frac{R_{B C}}{R_x+R_{B C}}. Отсюда находим, что R_{\mathrm{x}}=3 кОм. Аналогично, при подключении источника к точкам А и C :

U_2=U_0 \frac{R_{B C}}{R_y+R_{B C}}. Отсюда находим, что R_{\mathrm{y}}=2 кОм. Силы токов I_{A B} и I_{A C} определить не составляет труда:

\begin{aligned}

& I_{A B}=\frac{U_0}{R_y}+\frac{U_0}{R_x+R_{B C}}=7 \ мА, \\

& I_{A C}=\frac{U_0}{R_x}+\frac{U_0}{R_y+R_{B C}}=\frac{35}{6} \ мА.

\end{aligned} Ответ 1. \ R_{x} = 3 \ кОм, R_y = 2 \ кОм, R_z - любое; \ 2. \ I_{AB} = 7 \ мА, I_{AC} = 6 \ мА .