Правила Кирхгофа. Симметрия

Задача 1

Условие

Вычислите сопротивление проволочного каркаса, изображенного на рис. Сопротивление каждого элемента каркаса равно r . Каркас включается в цепь между точками А и В.

8_1_1д_1 Решение

При подключении каркаса в цепь между точками А и В в силу симметрии схемы некоторые соединения элементов можно разъединить, не меняя схемы протекания тока. Эквивалентная схема каркаса показана на рис. Все разъединенные пары точек на рисунке имеют одинаковые потенциалы, поэтому их можно соединить, получив при этом первоначальную схему каркаса

8_1_1д_4 Для вычисления сопротивления каркаса перерисуем схему, как показано на следующем рисунке.

8_1_1д_5 Видно, что схема состоит из двух одинаковых частей (верхней и нижней), соединенных параллельно и подключенных к точкам А и В. Вычислим последовательно сопротивления отдельных частей:

\begin{aligned}

& \frac{1}{R_{12}}=\frac{1}{2 r}+\frac{1}{2 r}, \text { откуда } R_{12}=r ; \\

& \frac{1}{R_{34}}=\frac{1}{3 r}+\frac{1}{4 r}, \text { откуда } R_{34}=\frac{12}{7} r .

\end{aligned} Окончательно сопротивление каркаса между точками А и В равно: R_{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}\left(R_{34}+2 r\right)=\frac{13}{7} r .

Ответ R_{\mathrm{AB}} = \frac{13}{7} r .

Задача 2

Условие

Вычислите сопротивление проволочного каркаса, изображенного на рис. Сопротивление каждого элемента каркаса равно r . Каркас включается в цепь между точками А и В.

8_1_1д_2 Решение

Воспользуемся свойством эквипотенциальных точек: в схемах их можно соединять и разъединять, не меняя электростатического состояния системы. Преобразуем схемы к виду, показанному на рис. Пунктирной линией показан провод, который можно удалить, т.к. он соединяет точки с одинаковым потенциалом, поэтому ток по нему течь не будет.

8_1_1д_3 \frac{1}{R_{AB}} = \frac{2}{2r} + \frac{1}{r} \ => \ R_{AB} = r/2. Ответ R_{AB} = r/2.

Задача 3

Условие

Источники ЭДС \varepsilon_1=10 В и \varepsilon_2 = 4 В включены в цепь так, как показано на рис. Сопротивления резисторов r_1=r_4=2 Ом, r_2=r_3=4 Ом. Пренебрегая сопротивлением источников, определить величины сил токов I_2 и I_3 через резисторы с сопротивлениями r_2 и r_3 .

8_1_1д_6 Решение

Запишем систему уравнений правил Кирхгофа, считая, что токи через резисторы 1 и 2 идут вправо, а через резисторы 3 и 4 влево:

\begin{cases}

I_1 + I_2 = I_3 + I_4 \\

\varepsilon_1 - \varepsilon_2 = I_1r_1 - I_2r_2 \\

\varepsilon_2 = I_2r_2 + I_3r_3 \\

\varepsilon_2 = I_2r_2 + I_4r_4

\end{cases} Упрощая \begin{cases}

I_1 = I_3 + I_4 - I_2\\

\varepsilon_1 - \varepsilon_2 = I_1r_1 - I_2r_2 \\

I_4 = \frac{r_3}{r_4}I_3 = 2I_3 \\

\varepsilon_2 = I_2r_2 + I_4r_4

\end{cases} Далее \begin{cases}

I_1 = 3I_3 - I_2\\

\varepsilon_1 - \varepsilon_2 = 3I_3r_1 - 3I_2r_1 \\

\varepsilon_2 = 2I_2r_1 + 2I_3r_1 \\

I_4 = 2I_3

\end{cases} Складывая второе и третье уравнения: \begin{cases}

I_1 = 3I_3 - I_2\\

\varepsilon_1 = 5I_3r_1 - I_2r_1 \ => \ I_2 = 5I_3 - \frac{\varepsilon_1}{r_1} \\

\varepsilon_2 = 2I_2r_1 + 2I_3r_1 \\

I_4 = 2I_3

\end{cases} И \begin{cases}

I_1 = 3I_3 - I_2\\

I_2 = 5I_3 - \frac{\varepsilon_1}{r_1} \\

\varepsilon_2 = 12I_3r_1 - 2\varepsilon_1 \\

I_4 = 2I_3

\end{cases} Откуда, окончательно \begin{cases}

I_1 = 3I_3 - I_2 = 3 \ А\\

I_2 = 5I_3 - \frac{\varepsilon_1}{r_1} = 0\\

I_3 = \frac{\varepsilon_2 + 2\varepsilon_1}{12r_1} = 1 \ А\\

I_4 = 2I_3 = 2 \ А

\end{cases}

Ответ I_2 = 0; I_3 = 1 \ A.

Задача 4

Условие

В электрической цепи (см. рисунок) сила тока, проходящего через резистор R_3 , равна 1 мА. Сопротивления резисторов R_1=1 кОм, R_3=3 кОм.

На сколько миллиампер отличаются показания амперметров A_1 и A_2 ? Амперметры считайте идеальными.

8_1_1д_7 Решение

Перерисуем исходную схему.

8_1_1д_8 По условию оба амперметра идеальные. Следовательно, все три резистора соединены параллельно и подключены к полюсам батарейки. Поэтому:

U=I_c R_3=3 \ В, \quad I_a=\frac{U}{R_1}=3 \ мА .

Для сил токов, протекающих через амперметры, справедливы соотношения (первое правило Кирхгофа): \begin{gathered}

I_a+I_b=I_2, \\

I_c+I_b=I_1 .

\end{gathered}

Вычитая второе уравнение из первого, находим ответ на вопрос задачи: I_2-I_1=I_a-I_c=2 \ мА . Ответ I_2-I_1 = 2 \ мА .