Правила Кирхгофа. Симметрия

Задача 5

Условие

Куб собран из одинаковых резисторов сопротивлением R . Три резистора заменили на идеальные перемычки, как указано на рисунке. Найдите общее сопротивление получившейся системы между контактами A и B .

8_1_1д_9 Решение

Изобразим эквивалентную схему и расставим токи в ветвях с учетом правил Кирхгофа (сила тока обратно пропорционально сопротивлениям параллельных ветвей).

8_1_1д_10 В силу симметрии схемы токи через резисторы в ветвях K C и C L не идут. Следовательно, эти резисторы можно убрать, и это не приведет к перераспределению токов в цепи и изменению общего сопротивления, которое равно R_{\mathrm{O}}=\frac{U_0}{I_0}=\frac{2 I R}{5 I}=\frac{2 R}{5} .

Ответ R_{\mathrm{O}}=\frac{2 R}{5} .

Задача 6

Условие

В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, ползунок потенциометра перемещают из крайнего правого положения влево с постоянной скоростью v=12 мм/с. Напряжение идеального источника U=12 В, сопротивление R=1 кОм.

8_1_1д_11 Получите зависимости показаний I_1 и I_2 идеальных амперметров от времени и длины потенциометра, а также найдите их минимальные значения.

Решение

Сила тока, текущего через резистор, равна разности сил токов I_1 и I_2 . Приравнивая напряжения на средней и верхней ветвях схемы, получим: I_2 R_{x}=\left(I_1-I_2\right) R.

С другой стороны, для нижнего контура U=I_1\left(R-R_{x}\right)+I_2 R_{x} , откуда можно выразить токи: \begin{aligned}

& I_1=\frac{U\left(R+R_{x}\right)}{R^2+R_{x}\left(R-R_{x}\right)}, \\

& I_2=\frac{U R}{R^2+R_{x}\left(R-R_{x}\right)},

\end{aligned}

где R_{x}=R v t / l . Если ползунок потенциометра находится в крайнем правом положении, то общее сопротивление цепи равно R . При параллельном соединении R_{x} и R эквивалентное сопротивление получается меньше этих двух значений, значит, общее сопротивление цепи меньше R . Следовательно, минимальное значение силы тока I_1 равно I_{1 \text { мин }}=U / R=12 мА.

Второй ток изменяется в зависимости от характера изменения слагаемого R_{x}\left(R-R_{x}\right) в знаменателе. По свойствам параболы максимального значения эта комбинация достигает при R_{x}=R / 2 . При этом, сила ток уменьшается до значения I_{2 \text { мин }}=4 U / 5 R=9,6 мА, а затем растет до исходного значения.

Ответ I_1=\frac{U\left(R+R_{x}\right)}{R^2+R_{x}\left(R-R_{x}\right)}, \ I_2=\frac{U R}{R^2+R_{x}\left(R-R_{x}\right)}, где R_{x}=R v t / l .