Эквивалентный источник

Эквивалентный источник

Два источника постоянного тока с ЭДС \varepsilon_1, \varepsilon_2 и внутренними сопротивлениями r_1, r_2 включены последовательно (см. схему на рисунке).

эи1 При подключении нагрузки к клеммам A и B схема эквивалентна одному источнику с некоторой ЭДС \varepsilon_0 и внутренним сопротивлением r_0 (то есть для любой нагрузки при замене данной схемы на источник с ЭДС \varepsilon_0 и внутренним сопротивлением r_0 ток в нагрузке не изменится).

Найдём ЭДС \varepsilon_0 и внутреннее сопротивление r_0 эквивалентного источника.

В случае, если через схему не течёт ток, разность потенциалов между точками A и B равна ЭДС эквивалентного источника: \varepsilon_0 = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 .

В случае, когда через схему всё же течет ток, мощность выделяющаяся на резисторах должна быть равна мощности, выделяющейся на резисторе эквивалентного источника:

I^2 r_1 + I^2 r_2 = I^2 r_0 \ => \ r_0 = r_1 + r_2. В итоге, получаем

\begin{cases}

r_0 = r_1 + r_2 \\

\varepsilon_0 = \varepsilon_1 + \varepsilon_2

\end{cases} В случае разворота одного из источников (см. рис.) изменится лишь разность потенциалов точек A и B .

эи2 Иначе говоря:

\begin{cases}

r_0 = r_1 + r_2 \\

\varepsilon_0 = |\varepsilon_1 - \varepsilon_2|

\end{cases} Теперь рассмотрим параллельное соединение. Два источника с ЭДС \varepsilon_1, \varepsilon_2 и внутренними сопротивлениями r_1, r_2 подключены параллельно двумя способами (см. рисунок слева и справа).

эи3 Найдём ЭДС \varepsilon_0 и внутреннее сопротивление r_0 эквивалентного источника для каждого из случаев.

В случае когда через точку A не течёт ток, разность потенциалов между точками A и B равна ЭДС эквивалентного источника. При этом внутри самой цепи ток идёт. Обозначим силу этого тока за I_0 , предположим, что он идёт по часовой стрелке (без потери общности). Тогда

\varepsilon_0 = \varepsilon_1 - I_0 r_1 = \varepsilon_2 + I_0 r_2. Выразим I_0 :

I_0 = \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{r_1 + r_2}. Подставляя, получим:

\varepsilon_0 = \varepsilon_1 - \frac{r_1}{r_1 + r_2} (\varepsilon_1 - \varepsilon_2) = \frac{\varepsilon_2 r_1 + \varepsilon_1 r_2}{r_1 + r_2}. В случае справа, \varepsilon_2 необходимо заменить на -\varepsilon_2 и, для поддержания общности, поставить модуль.

То есть

\varepsilon_0 = \frac{|\varepsilon_1 r_2 - \varepsilon_2 r_1|}{r_1 + r_2}. В случае, когда через точку A течёт ток I , мощность, выделяемая на резисторах r_1 и r_2 , должна быть равна мощности, выделяющейся на резисторе r_0.

Иначе говоря (для случая слева):

\begin{cases}

I_1^2 r_1 + I_2^2 r_2 = I^2 r_0, \ (условие \ равенства \ мощностей) \\

I = I_1 + I_2, \ (первое \ правило \ Кирхгофа) \\

\varepsilon_1 - \varepsilon_2 = I_1 r_1 - I_2 r_2 \ (второе \ правило \ Кирхгофа)

\end{cases} Решая систему, получаем

r_0 = \frac{r_1r_2}{r_1 + r_2}. Получив все искомые формулы, можем немного переделать получившиеся формулы:

для \ последовательного \ соединения: r_0 = \sum_1^n r_n; \ \ \varepsilon_0 = \sum_1^n \varepsilon_n ; для \ параллельного \ соединения: 1/r_0 = \sum_1^n (1/r_n); \ \ \varepsilon_0 = r_0 \sum_1^n \frac{\varepsilon_n}{r_n}.

Если источники постоянного напряжения развёрнуты, то минус содержится уже внутри переменной \varepsilon_k.