Эквивалентный источник

Задача 1

Условие

Две батареи с одинаковыми ЭДС \mathcal{E} соединены так, что ЭДС образовавшегося источника равна \mathcal{E} / 2 . Внутреннее сопротивление одной из батарей равно r . Изобразите схему включения и определите возможные значения внутреннего сопротивления второй батареи.

Решение

В случае последовательного соединения источников суммарная ЭДС батарей будет либо 2 \mathcal{E}, либо 0. Соответственно имеем параллельное соединение батарей.

Если батареи соединены разноимёнными клеммами друг к другу, имеем следующую формулу:

\frac{\mathcal{E}r + \mathcal{E}r_2}{r + r_2} = \frac{\mathcal{E}}{2}, откуда

r + r_2 = 0.5r + 0.5r_2, что невозможно при положительном сопротивлении r_2.

Остаётся только вариант с соединением батарей одноимёнными клеммами друг к другу. Имеем следующую формулу:

\frac{|\mathcal{E}r - \mathcal{E}r_2|}{r + r_2} = \frac{\mathcal{E}}{2} \ => \ 2|r - r_2| = r + r_2, откуда

r_2 = 3r \ или \ r_2 = \frac{1}{3}r. Ответ Батареи соединены одноимёнными клеммами друг к другу; r_2 = 3r \ или \ r_2 = \frac{1}{3}r.

Задача 2

Условие

Электрическая схема, изображённая на рисунке, состоит из двух одинаковых батарей с ЭДС \mathcal{E}_i и внутренними сопротивлениями r и резистора сопротивления R . При подключении нагрузки к клеммам А и В схема эквивалентна батарее с некоторой ЭДС \mathcal{E}_0 и внутренним сопротивлением r_0 (то есть для любой нагрузки при замене данной схемы на батарею с ЭДС \mathcal{E}_0 и внутренним сопротивлением r_0 ток в нагрузке не изменится).

1) Найдите ЭДС \mathcal{E}_0 и внутреннее сопротивление r_0 эквивалентного источника.

2) К клеммам А и В подключают резистор, сопротивление которого можно изменять. При каком значении этого сопротивления тепловая мощность, выделяющаяся на нём, будет максимальной?

image.png

Решение

c62 Обозначим токи, как показано на рисунке и запишем правила Кирхгофа:

\left\{\begin{array}{l}

I_1 r-I_2 r=\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2 \\

I_1 r+I_3 R=\mathcal{E}_2 \\

I_1+I_2=I_3

\end{array}\right. . Имеем

\left\{\begin{array}{l}

I_1=I_2+\frac{\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2}{r} \\

I_2(R+r)+I_1 R=\mathcal{E}_2

\end{array}; \quad I_2(2 R+r)=\mathcal{E}_2-\frac{\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2}{r} R=\frac{\mathcal{E}_2 r-\mathcal{E}_1 R+\mathcal{E}_2 R}{r}\right. . Отсюда

I_2=\frac{\mathcal{E}_2 r-\mathcal{E}_1 R+\mathcal{E}_2 R}{(2 R+r) r}. ЭДС эквивалентного источника будет равна

\mathcal{E}_0=I_3 R=\left(I_1+I_2\right) R=\left(\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2\right) \frac{R}{2 R+r}. с63 Для контура K E L M :

\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2=2 Ir \Rightarrow Ir =\frac{\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2}{r}. Напряжение на E L равно напряжению на батарее. Резисторы r и r соединены параллельно, а к ним R последовательно, значит, общее сопротивление:

r_0=\frac{r}{2}+R. Подключение любого сопротивления к A B эквивалентно в том числе отсутствию подключения к клеммам. По второму закону Кирхгофа:

\mathcal{E}=I_0(R+r) \Rightarrow I_0=\frac{\mathcal{E}}{R+r}. Ввиду того, что на клеммах нет нагрузки, разность потенциалов между ними равно напряжению на r

\mathcal{E}_0=I_0 r=\frac{\mathcal{E} r}{R+r}. Замкнем A B перемычкой U_{A B}=0 .

c64 По правилам Кирхгофа:

\left\{\begin{array}{l}

I_1 r=I_2 r \\

I_3=I_1+I_2

\end{array} \quad \Rightarrow \quad I_3=2 I_1\right. . Кроме того

\mathcal{E}=I_2 r+2 I_2 R \quad \Rightarrow \quad I_2=\frac{\mathcal{E}}{2 R+r}. Значит

r_0=\frac{\mathcal{E}_0}{I_1}=\frac{r(2 R+r)}{R+r}. Задача 3

Условие

Из одинаковых батареек, ЭДС каждой из которых \mathcal{E} , внутреннее сопротивление r , а сопротивление резисторов R , собрана «полубесконечная» цепь (число звеньев n \rightarrow \infty) , изображенная на рисунке.

c65 Что будет показывать идеальный амперметр, подключенный к клеммам AB ?

Решение

Перерисуем схему следующим образом

с66 Потенциалы точек непосредственно над батареями (ниже внутренних сопротивлений) одинаковы, т. е. мы можем соединить их, не изменяя показаний амперметра. Теперь задача сводится к вычислению сопротивления цепочки резисторов. Обозначив его как R_x , получаем уравнение

\frac{R_x r}{R_x+r}+R=R_x. Здесь учтено, что подключение еще одного звена не должно изменять сопротивление цепочки. Решение уравнения

R_x=\frac{R+\sqrt{R^2+4 r R}}{2}. Искомый ответ

I=\frac{\mathcal{E}}{R_x}=\frac{\mathcal{E}}{2 r}\left(\sqrt{1+\frac{4 r}{R}}-1\right). Ответ I=\frac{\mathcal{E}}{2 r}\left(\sqrt{1+\frac{4 r}{R}}-1\right).