Эквивалентный источник

Задача 4

Условие

Очень длинная цепочка составлена из одинаковых батарей, имеющих ЭДС \mathcal{E}=12 В и внутреннее сопротивление r=4 Ом, и резисторов с сопротивлением R=15 \ Ом (рис. слева). Определите ЭДС \mathcal{E}_0 и внутреннее сопротивление r_0 эквивалентной батареи (рис. справа).

с67 Решение

Выделяем одно звено цепочки и подсоединяем к нему эквивалентную батарею

c68 Напряжение на входе (между точками A и B ) должно быть равно \mathcal{E}_0 , т.е. ЭДС разомкнутой батареи. Следовательно:

\mathcal{E}_0=\mathcal{E}+\frac{\mathcal{E}_0 R}{R+r_0}. Для отыскания r_0 накоротко замкнем вход A B .

c69 Тогда сила тока короткого замыкания:

i_1=\frac{\mathcal{E}_0}{r_0}. Найдем силу тока i_1 из законов Кирхгофа:

\left\{\begin{array}{l}

i_1 r-i_2 R=\mathcal{E} \\

i_3 r_0+i_2 R=\mathcal{E}_0 \\

i_3=i_1+i_2

\end{array}\right. . Имеем

\left(i_1+i_2\right) r_0+i_2 R=\mathcal{E}_0 \Rightarrow i_2\left(r_0+R\right)=0, т.е. i_2=0 . Находим

i_1=\frac{\mathcal{E}}{r}=\frac{\mathcal{E}_0}{r_0} \Rightarrow \mathcal{E}_0=\frac{r_0}{r} \mathcal{E}. Подставляем полученное выражение:

\frac{r_0}{r} \mathcal{E}=\mathcal{E}+\frac{R}{R+r_0} \frac{r_0}{r} \mathcal{E}. То есть

r_0^2-r_0 r-R r=0 \Rightarrow r_0=\frac{r}{2}\left(1 \pm \sqrt{1+4 \frac{R}{r}}\right). С минусом не подходит, так как r_0>0 , тогда

\begin{aligned}

r_0 & =\frac{r}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4 R}{r}}\right)=10 \ Ом, \\

\mathcal{E}_0 & =\frac{\mathcal{E}}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4 R}{r}}\right)=30 \ В.

\end{aligned} Ответ r_0 = 10 Ом; \mathcal{E}_0 = 30 В.

Задача 5

Условие

На рисунке изображена полубесконечная цепочка, состоящая из одинаковых источников постоянного тока с ЭДС \mathcal{E}=1.2 В и внутренним сопротивлением r=2.0 Ом. K входным клеммам цепочки с помощью перекидного ключа K могут быть подключены либо идеальный вольтметр V , либо идеальный амперметр A . Определите показания этих приборов.

c610 Решение

Решение сводится к определению ЭДС \mathcal{E}_0 эквивалентной батареи и ее внутреннего сопротивления r_0 . Тогда показания вольтметра U=\mathcal{E}_0 , показания амперметра I_0=\mathcal{E}_0 / r_0 (короткое замыкание).

Пусть сначала к цепочке подсоединен вольтметр V . Заменим полубесконечную цепочку, начиная со второго звена, эквивалентной батареей.

c611 Через идеальный вольтметр ток не течет. По закону Ома

I=\frac{\mathcal{E}-\mathcal{E}_0}{r+r_0}. Показание вольтметра

U=\mathcal{E}_0=U_{A B}-\mathcal{E}, где напряжение между точками A и B

U_{A B}=\mathcal{E}-I r. Следовательно,

U=-I r=-\frac{\mathcal{E}-\mathcal{E}_0}{r+r_0} r=\mathcal{E}_0, откуда

\mathcal{E}_0=-\frac{r}{r_0} \mathcal{E}. Найдем теперь внутреннее сопротивление r_0 эффективной батареи. Это сопротивление равно сопротивлению цепи из которой выкинуты все ЭДС (см. примечание). Тогда мы получаем известную задачу о сопротивлении полубесконечной цепочки резисторов. Добавим к полубесконечной цепочке слева еще одно звено, ее сопротивление при этом не изменится. Получаем уравнение для r_0

r_0=r+\frac{r r_0}{r+r_0}, \quad r_2^2-r r_0-r^2=0. Положительный корень этого уравнения

r_0=\frac{1+\sqrt{5}}{2} r \approx 3.24 \ Ом. Находим

\mathcal{E}_0=-\frac{r}{r_0} \mathcal{E}=-\frac{2}{1+\sqrt{5}} \mathcal{E} \approx 0.74 \ В. откуда

I_0=\frac{\mathcal{E}_0}{r_0} \approx 0.23 \ A. Примечание. Действительно, если к такой цепи приложить напряжение U , много большее всех ЭДС в цепи, при вычислении тока можно будет пренебречь всеми этими ЭДС. Тогда ток равен

I=\frac{U}{R}, где R - сопротивление цепи, которая получена из исходной заменой всех батарей резисторами, равными их внутренним сопротивлениям. С другой стороны, этот же ток равен

I=\frac{U-\mathcal{E}_0}{r_0} \approx \frac{U}{r_0}. Отсюда внутреннее сопротивление эквивалентной батареи r_0=R , что и требовалось.

Ответ U_V \approx 0.74 В; I_A \approx 0.23 A.

Задача 6

Условие

Электрическая цепь (рисунок сверху) собрана из одинаковых омметров и резистора, сопротивление которого R=1 кОм. Все омметры включены в цепь так, что у приборов с нечётным номером клемма, помеченная знаком плюс, находится слева, а у чётных - сверху. Определите показания первого, четвёртого и тринадцатого омметров. Указание. Считайте, что омметр состоит из соединённых последовательно идеального источника постоянного напряжения U , резистора сопротивлением R=1 кОм и идеального амперметра (рисунок снизу). При подключении к омметру исследуемого резистора показания амперметра, встроенного в омметр, автоматически пересчитываются (например, с помощью встроенного микропроцессора) так, что на цифровом табло прибора отображается значение сопротивления исследуемого резистора R_x , подключённого к омметру.

c612 Решение

Всю цепь омметров (рис. слева) можно эквивалентно (без изменения тока через резистор R ) заменить идеальным источником напряжение U_0 и резистором сопротивления R_0 (рис. в центре). Поскольку число звеньев бесконечно, то значения U_0 и R_0 не зависят от номера звена, начиная с которого производится замена. Тогда эта же схема эквивалентна приведенной на рис. справа. Для нахождения U_0 и R_0 воспользуемся формулами последовательного и параллельного соединения источников:

\begin{gathered}

U_0=U+\left(\frac{U}{R}+\frac{U_0}{R_0}\right) \frac{R R_0}{R+R_0} ;\\

R_0=\frac{R_0 R_0}{R+R_0}+R.

\end{gathered} Отсюда находим:

U_0=\frac{(3+\sqrt{5}) U}{2}, \quad R_0=\frac{(1+\sqrt{5}) R}{2}. Тогда сила тока, протекающего через внешний резистор,

I_1=\frac{U_0}{R_0+R}=\frac{U(3+\sqrt{5})}{2\left(R+\frac{(1+\sqrt{5}) R}{2}\right)}=\frac{U}{R}. Показание первого омметра

R_1=\frac{U}{I_1}-R=0. Показание второго омметра находим, применив закон Кирхгофа для контура с внешним резистором и первыми двумя омметрами

2 U=2 I_1 R+I_2 R. Тогда

I_2 R=2\left(U-I_1 R\right)=0. Оказывается, что сила тока I_2 , текущего через второй омметр равна нулю. Следовательно

R_2=\frac{U}{0}-R=\infty. В следующих ветвях все повторяется. Нечетные омметры показывают ноль, четные - бесконечность, поэтому R_1=R_{13}=0 , R_4=\infty .

Ответ R_1=R_{13}=0, R_4=\infty .