Бесконечные цепи. Метод наложения. Бесконечные сетки

Задача 1

Условие

Найдите сопротивления между клеммами бесконечной цепи, показанной на схеме. R считайте известным.

8_1_2л_1 Решение

Принципиальное различие данной схемы с той, что была разобрана ранее в том, что резисторы с каждым повторением элемента увеличивают своё сопротивление в 7 раз. То есть схема может быть перерисована следующим образом:

8_1_2л_2 Составляем уравнение: R_{AB} = R + \frac{2R \cdot 7R_{AB}}{2R + 7R_{AB}}; 2RR_{AB} + 7R_{AB}^2 = 2R^2 + 7RR_{AB} + 2R \cdot 7R_{AB}; 7R_{AB}^2 - 19 RR_{AB} - 2R^2 = 0, откуда R_{AB} = \frac{19 + \sqrt{417}}{14}R. Ответ R_{AB} = \frac{19 + \sqrt{417}}{14}R.

Задача 2

Условие

Какое сопротивление R надо включить между точками С и D в цепи, изображенной ниже, чтобы сопротивление цепи между точками А и В не зависело от числа ячеек?

8_1_2л_4 Решение

Надо подключить такое сопротивление R , чтобы сопротивление последней ячейки было равно R . Тогда последнюю ячейку можно заменить сопротивлением R , затем то же самое сделать с предпоследней ячейкой и т.д. При этом общее сопротивление цепи не будет зависеть от числа ячеек и будет равно R .

Сопротивление последней ячейки с подсоединенным резистором R равно:

\frac{(2 r+R) \cdot r}{3 r+R}=R \text {. } Получили квадратное уравнение относительно R :

R^{2}+2 r R-2 r^{2}=0, откуда находим: R=r(\sqrt{3}-1) .

Ответ R=r(\sqrt{3}-1) .

Задача 3

Условие

Бесконечный проволочный каркас, показанный ниже, состоит из одинаковых звеньев с одинаковым сопротивлением r . Найти сопротивление R_{AB} каркаса между точками А и В .

8_1_2л_5 Решение

Если посмотреть на каркас слева, получится изображение цепи, приведенное в перспективе на рисунке слева.

8_1_2л_6 Из симметрии рисунка видно, что потенциалы всех узлов соединения звеньев на линиях 1-1 и 2 - 2 одинаковы, поэтому звенья, соединяющие эти узлы, можно удалить. После этого получится цепь, изображенная на среднем рисунке.

Между точками \mathrm{C} и \mathrm{D} находится фигура, сопротивление которой равно искомому сопротивлению R_{x} , так как цепь бесконечна. При этом эквивалентная схема каркаса приобретает вид, показанный на рисунке справа. Между точками А и В элемент цепи, в который входит R_{x} , включен параллельно с параллельно соединенными участками, содержащими по два звена сопротивлением r ; общее сопротивление этих участков равно r . Поскольку сопротивление цепи между точками А и В равно R_{x} , воспользуемся правилом вычисления сопротивления параллельно соединенных резисторов и получим:

R_{x}=\frac{\left(2 r+R_{x}\right) \cdot r}{r+2 r+R_{x}}. Преобразуя последнюю формулу, приходим к квадратному уравнению относительно R_{x} :

R_{x}^{2}+2 r R_{x}-2 r^{2}=0, откуда находим: R_{x}=r(\sqrt{3}-1) .

Ответ R_{x}=r(\sqrt{3}-1) .

Задача 4

Условие

Найдите сопротивление между точками A и B бесконечной цепочки, изображённой на рисунке.

6tok Решение

На большом удалении от клемм A и B данной цепи ток течёт только по нижнему проводнику, а по верхней части цепи ток не идёт, и поэтому её можно разорвать.

Тогда имеющуюся схему можно представить в виде последовательного соединения двух схем из задачи 4 (так как по всей нижней ветви потенциал во всех точках одинаков). И в таком случае R_{AB} = 2\frac{1 + \sqrt{5}}{2}R = (1 + \sqrt{5})R.

Ответ R_{AB} = (1 + \sqrt{5})R