Бесконечные цепи. Метод наложения. Бесконечные сетки

Задача 5

Условие

Дана бесконечная проволочная сетка, составленная из:

а) квадратов;

б) правильных треугольников;

в) правильных шестиугольников.

Найдите сопротивление этой сетки при подключении к концам одного звена. Сопротивление каждого звена равно r.

Решение

а) Необходимо найти сопротивление R_{AB} . Воспользуемся тем, что потенциал на любом бесконечно удаленном объекте равен 0, а значит одинаков, и "обведём" сетку проводом без сопротивления, находящимся бесконечно далеко от точек A и B .

2soltok Теперь воспользуемся методом наложения и представим начальную схему в виде двух схем, выводя и вводя через "обводящий" провод ток I . Токи вокруг точек A и B расставлены таким образом из соображений симметрии.

После наложения ток через ребро AB получается равным I/2 . Тогда R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I_0} = \frac{Ir}{2I} = \frac{1}{2}r.

2.2soltok б), в) аналогично r/3 , 2r/3 .

Ответ а) R_{AB} = \frac{1}{2}r ; б) r/3 ; в) 2r/3 .

Задача 6

Условие

Найдите сопротивление между точками A и B бесконечной цепочки, изображённой на рисунке.

8_1_2д_3 Решение

Рассмотрим цепь состоящую из n ячеек. После добавления каждой новой ячейки сопротивление цепи уменьшается (вследствие свойств параллельного соединения). При этом сопротивление цепи никогда не окажется меньше чем r . Значит сопротивление цепи не + \infty и не - \infty , а некоторое конечное число.

Рассмотрим, что получается с добавлением ещё одного звена, иначе говоря, как R_{n+1} зависит от R_n .

R_{n + 1} = \frac{(R_n - r) \cdot \varphi_{n + 1} r}{(R_n - r) + \varphi_{n + 1} r} + r, где \varphi_1 = 1, \varphi_2 = 2, \varphi_3 = 3, \varphi_4 = 5, \ ...

В случае, когда цепь бесконечна, то есть n \rightarrow \infty , сопротивление цепи не зависит от одного звена, то есть R_{n+1} = R_n = R_{AB} .

Тогда: R_{AB} = \frac{(R_{AB} - r) \cdot \varphi_{n + 1} r}{(R_{AB} - r) + \varphi_{n + 1} r} + r, R_{AB}^2 - rR_{AB} + \varphi_{n+1}rR_{AB} = \varphi_{n+1}rR_{AB} - \varphi_{n+1}r^2 + rR_{AB} - r^2 + \varphi_{n+1}r^2, R_{AB}^2 - 2rR_{AB} + r^2 = 0, R_{AB} = r.

Ответ R_{AB} = r

Задача 7

Условие

Найдите сопротивление между точками A и B бесконечной цепочки, изображённой на рисунке.

8_1_2д_4 Решение

Сопротивление R_{AB} является суммой последовательности сопротивлений r + r/2 + r/4 + ...

Приведём геометрический способ нахождения этой суммы. Рассмотрим прямоугольник со сторонами 1 и 2. Будем делить его на две равные части, затем одну из них снова, затем одну из новых и так далее до бесконечности. Площади этих фигур будут равны 1, 1/2, 1/4, ... а в сумме будут давать всю площадь прямоугольника, то есть 2.

8_1_2д_5 Значит R_{AB} = r(1 + 1/2 + 1/4 + ...) = 2r.

Ответ R_{AB} = 2r .

Задача 8

Условие

Найдите сопротивление между точками A и B бесконечной цепочки, изображённой на рисунке.

4tokresh Решение

Возможно перерисовать схему в новом виде (отличие от предыдущих задач лишь в длине повторяющегося фрагмента):

4soltokresh

Тогда: R_{AB} = 2R + \frac{R(R + \frac{RR_{AB}}{R + R_{AB}})}{2R + \frac{RR_{AB}}{R + R_{AB}}}. Преобразовывая: R_{AB} = (2 + \frac{1 + \frac{R_{AB}}{R + R_{AB}}}{2 + \frac{R_{AB}}{R + R_{AB}}})R. Далее: R_{AB} = \frac{5R + 8R_{AB}}{2R + 3R_{AB}}R. Избавимся от дроби: 2RR_{AB} + 3R_{AB}^2 = 5R^2 + 8RR_{AB}. Приводим подобные и записываем в каноническом виде: 3R_{AB}^2 - 6RR_{AB} - 5R^2 = 0. Решая квадратное уравнение: R_{AB} = \frac{6R + \sqrt{96R^2}}{6} = (1 + \frac{4}{\sqrt{6}})R.

Ответ R_{AB} = (1 + \frac{4}{\sqrt{6}})R.

Задача 9

Условие

Найти сопротивление между точками А и В бесконечного проволочного каркаса, представленного на рис. Каркас состоит из одинаковых проволочных звеньев, сопротивление каждого из которых равно r .

8_1_2д_7 Решение

В качестве повторяющегося участка каркаса выделим первые четыре звена. Если их отсоединить, сопротивление оставшейся схемы всё ещё будет R_{AB}. Покажем эквивалентную схему:

8_1_2д_8 Тогда

R_{AB} = \frac{r \cdot (r + \frac{r(r + R_{AB})}{2r + R_{AB}})}{2r + \frac{r(r + R_{AB})}{2r + R_{AB}}}

= \frac{r \cdot (2r^2 + R_{AB}r + r^2 + rR_{AB})}{4r^2 + 2rR_{AB} + r^2 + rR_{AB}}, то есть R_{AB} = \frac{r \cdot (3r^2 + 2R_{AB}r)}{5r^2 + 3rR_{AB}}, избавимся от знаменателя: 5r^2R_{AB} + 3rR^2_{AB} = r \cdot (3r^2 + 2R_{AB}r). После сокращения на r и упрощения: R^2_{AB} + rR_{AB} - r^2 = 0. Решая квадратное уравнение: R_{AB} = \frac{-r + \sqrt{r^2 + 4r^2}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}r.

Ответ R_{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}r.

Задача 10

Условие

Найдите сопротивление между точками A и B .

1dop R известно и равно 20 \Omega.

Решение

Перерисуем схему

2dop Из начальной схемы, очевидно, что R_x \leq 6R, значит, конечное. Значит мы можем распоряжаться им как обычным резистором. Как видно, у нас получился сбалансированный мост Уитстона. Получаем

R_{AB} = \frac{3R \cdot 6R}{3R + 6R} = 2R. Ответ R_{AB} = 2R.