ВАХ. Нелинейные элементы Часть 1: ВАХ. Нелинейные элементы

Задача 1

Условие

Лампочки Л1 и Л2, имеющие вольт-амперные характеристики, показанные на рисунке, соединили последовательно и подключили к источнику с напряжением U = 12 В.

1) Найдите силу тока, текущего при этом через лампочку Л1.

2) Чему равна сила тока, протекающая через лампочку Л1, если лампочки Л1 и Л2 последовательно соединить с Л3, имеющей такую же вольт-амперную характеристику, как и Л2, и подключить эту «гирлянду» к источнику с напряжением U = 12 В?

8_2_1_карантин Решение

При последовательном соединении лампочек через каждую из них течет ток I . При этом напряжение U_{1}(I) на лампочке J_{1} и напряжение U_{2} на лампочке I_{2} связаны соотношением

U_{1}(I)=U-U_{2}(I), где U - напряжение источника тока.

8_1_3л_3 Точка пересечения графиков зависимостей U_{1}(I) и U-U_{2}(I) определяет напряжения на лампочках и силу тока, текущего через них:

I=0,094 \mathrm{~A} . 2. При последовательном соединении трех лампочек надо построить суммарную вольт-амперную характеристику U_{23}(I) лампочек J_{2} и J_{3} , соединенных последовательно, после чего задача сводится к предыдущей.

8_1_3л_4 Поскольку вольт-амперные характеристики лампочек J_{2} и J_{3} по условию совпадают, U_{23}(I)=2 U_{2}(I) (рис. слева). Силу тока, текущего через лампочку J_{1} , в случае последовательного соединения J_{1}, J_{2} и J_{3} найдем из графика (рис. справа).

I=0,084 \mathrm{~A}. Ответ 1. \ I=0,094 \mathrm{~A}; \ 2. \ I=0,084 \mathrm{~A}.

Задача 2

Условие

Электрическая цепь состоит из двух одинаковых нелинейных элементов X , потенциометра, сопротивление между неподвижными контактами которого R = 100 Ом, и идеальной батарейки с напряжением U_0 = 10 В (верхний рисунок). Вольт-амперная характеристика элемента X приведена на нижнем рисунке.

8_1_3л_5 Определите:

1) Суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах, при крайних положениях движка потенциометра.

2) Суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах, при положении движка потенциометра в центре.

3) Минимальную суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах. При каких положениях движка потенциометра эта мощность достигается?

Ответ обоснуйте.

4) Суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах, при положении движка потенциометра, в котором сопротивление его левого плеча равно 25 Ом.

Решение

1. При крайних положениях движка реостата напряжение на одном из элементов X равно нулю, а на втором 10 \mathrm{~B} . Из графика видно, что через второй элемент при этом течет ток ( 200 \pm 2 ) мА, значит, суммарная мощность W_{1}=(0+10 \cdot 0,2) Вт =(2,00 \pm 0,02) Вт.

2. При центральном положении реостата получаем симметричную цепь, следовательно, напряжение на каждом из элементов X будет 5 В. По графику ток равен (60 \pm 3) мА, и суммарная мощность W_{2}=(2 \cdot 5 \cdot 0,06) Вт =(0,60 \pm 0,03) Вт.

3. Исходя из 1 и 2 пунктов, логично предположить, что минимальная мощность достигается при центральном положении движка реостата. Сдвинем движок реостата из центрального положения в левую сторону. Пусть при этом напряжение на левом элементе уменьшилось на U^{\prime} и стало \frac{U_{0}}{2}-U^{\prime} , тогда на правом элементе напряжение стало равным \frac{U_{0}}{2}+U^{\prime} . На левом элементе ток стал равен I_{0}+\Delta I_{\textЛ} , а на правом I_{0}+\Delta I_{\text {п }} , где I_{0} - ток через элементы \mathrm{X} при центральном положении движка реостата.

Выразим изменение мощности по сравнению с центральным положением движка реостата:

\Delta P=\left(\frac{U_{0}}{2}-U^{\prime}\right)\left(I_{0}+\Delta I_{\text {Л}}\right)+\left(\frac{U_{0}}{2}+U^{\prime}\right)\left(I_{0}+\Delta I_{\text {П}}\right)-U_{0} \cdot I_{0}=\frac{U_{0}}{2}\left(\Delta I_{\text {Л }}+\Delta I_{\text {П}}\right)+U^{\prime}\left(\Delta I_{\text {П }}-\Delta I_{\text {Л }}\right). Заметим, что \Delta I_{\text {п }}>0 , а \Delta I_{\text {л }}<0 . Кроме того, так как график ВАХ по мере увеличения напряжения растет все быстрее, то \left|\Delta I_{\text {п }}\right|>\left|\Delta I_{\text {л}}\right| , поэтому \Delta P>0 при любых U^{\prime} , значит, центральное положение движка реостата соответствует минимальной мощности. То есть W_{\min } = W_{2} .

4. Перерисуем схему в эквивалентную.

8_1_3л_6 Сопротивление левого резистора R_{1}=25 \ Ом , а правого R_{2}=75 Ом. Пусть напряжение на левом резисторе равно U , токи через резисторы равны I_{1} и I_{2} , а через элементы X-I_{3} и I_{4} . Тогда можем записать:

\begin{cases}

I_{1}=\frac{U}{R_{1}} \\

I_{2}=\frac{U_{0}-U}{R_{2}} \\

I_{1}+I_{3}=I_{2}+I_{4}

\end{cases} . Откуда получим I_{4}-I_{3}=U\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)-\frac{U_{0}}{R_{2}}=U \cdot 0,053 \ Ом^{-1} = 133 \ мА. Из полученного выражения видно, что по мере роста U от 0 до \frac{U_{0}}{2} разность токов будет монотонно возрастать. Если же искать разность токов исходя из \mathrm{BAX} , то по мере увеличения U разность токов будет монотонно убывать.

Последовательными приближениями подберем значение U , удовлетворяющее нашему выражению и ВАХ. Получим U=(3,5 \pm 0,2) В. Тогда из графика находим токи через элементы X , примерно равные соответственно I_{3}=(35 \pm 4) мА и I_{4}=(87 \pm 5) мА. Суммарная выделяющаяся мощность

W=I_{3} \cdot U+I_{4}\left(U_{0}-U\right)=(0,035 \cdot 3,5+0,087 \cdot(10-3,5)) \ Вт \ =(0,7 \pm 0,1)\ Вт. Ответ 1. W_{1}=(2,00 \pm 0,02) Вт . 2. W_{2} =(0,60 \pm 0,03) Вт ; 3. W_{\min } = W_{2} , центральное положение движка реостата; 4. W=(0,7 \pm 0,1)\ Вт.