Мост Уитстона

Задача 2

Условие

Два идеальных амперметра (внутреннее сопротивление которых равно нулю) включены в цепь (рис.). Сопротивления резисторов соответственно равны R_1=3 \ кОм, \ R_2 = 3 R_1, \ R_3 = 2 R_1 . Сопротивление переменного резистора R_x может принимать любые значения от нуля до бесконечности. Напряжение источника постоянного тока U=81 В.

38 Вычислите, при каких значениях сопротивления R_x :

1) Сила тока |I| , протекающего через амперметр A_1 , минимальна. Чему она равна?

2) Сила тока |I| , протекающего через амперметр A_1 , максимальна. Чему она равна?

3) Сила тока I_0 , протекающего через амперметр A_2 , вдвое меньше |I|_{\max} . Чему равна сила тока протекающего через амперметр A_1 ?

Решение

На схеме (рис. слевс) расставим токи, протекающие в цепи. Направление тока I выбрано произвольно. Так как сопротивление амперметров равно нулю, схему можно представить в более удобном для расчётов виде (рис. справа).

му4 Найдём сопротивления соответствующих участков схемы, выразив их через сопротивление R_1 : \begin{gathered}

R_{12}=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}=\frac{R_1 \cdot 3 R_1}{R_1+3 R_1}=\frac{3}{4} R_1, \\

R_{34}=\frac{R_3 R_x}{R_3+R_x}=\frac{2 R_1 R_x}{2 R_1+R_x}, \\

R_{\text {общ }}=R_{12}+R_{34}=R_1 \cdot \frac{6 R_1+11 R_x}{4\left(2 R_1+R_x\right)} .

\end{gathered}

Таким образом, можно найти силу тока I_0 : I_0=\frac{U}{R_{\text {общ }}}=\frac{U}{R_1} \cdot \frac{4\left(2 R_1+R_x\right)}{6 R_1+11 R_x} .

Найдём силу тока I : I=I_1-I_3=I_0 \frac{R_2}{R_1+R_2}-I_0 \frac{R_x}{R_3+R_x}=\frac{U}{R_1}\left(\frac{6 R_1-R_x}{6 R_1+11 R_x}\right) .

1. Минимум модуля тока I достигается при R_x=6 R_1=18 кОм, таким образом, |I|_{\min }=0 .

2. Преобразуем (2) к следующему виду: I=\frac{U}{R_1}\left(1-\frac{12 R_x}{6 R_1+11 R_x}\right) .

Эта функция имеем максимум при R_x=0 , при этом |I|_{\max }=U / R_1=27 \ мА .

3. Запишем уравнение из условия I_0=|I|_{\max } / 2 : I_0=\frac{U}{R_1} \cdot \frac{4\left(2 R_1+R_x\right)}{6 R_1+11 R_x}=\frac{|I|_{\max }}{2}=\frac{U}{2 R_1}=13.5 \ мА.

Отсюда найдём R_x= \displaystyle \frac{10}{3} R_1=10 кОм. Посчитав отношение токов, получим, что искомый ток равен I_0/8.

Ответ 1. I_{\min} = 0 ; 2. I_{\max} = 27 \ мА ; 3. I_{A_1} = I_0/8 = 1.69 \ мА.

Задача 3

Условие

На рисунке изображена цепь, содержащая идеальный амперметр A , резисторы сопротивлением R и 2 R , ключи K_1 и K_2 . Цепь подключена к источнику постоянного напряжения U . Какую силу тока будет показывать амперметр при различных комбинациях ключей K_1 и K_2 (замкнуто - разомкнуто)? Какими будут направления тока на участке B D в различных случаях? В каком случае показания амперметра окажутся максимальными?

39 Решение

Комбинация 1:

Ключ K_1 замкнут, K_2 - разомкнут. В этом случае в плечо G B включён резистор 2 R и схема симметрична относительно участка G C . Следовательно I_1=0 .

Комбинация 2:

Ключи K_1 и K_2- разомкнуты. Эквивалентная схема изображена на рисунке.

му6 Сопротивление участка цепи, обведённого пунктирной линией, найдём из условия

\frac{1}{r}=\frac{1}{R}+\frac{1}{2 R}=\frac{3}{2 R}, \quad \text { откуда } \quad r=\frac{2}{3} R . На участке D C напряжение

U_{D C}=\frac{U}{2 R+r} r=\frac{U}{4} . Показания амперметра I_2=\frac{U_{D C}}{2 R}=\frac{U}{8 R}.

Направление тока от узла D к узлу B .

Комбинация 3:

Ключ K_2 замкнут (положение ключа K_1 - произвольное).

Эквивалентная схема изображена на рисунке.

му7 Сопротивление участка цепи, обведённого пунктирной линией, равно r=\frac{2}{3} R.

На участке B D напряжение U_{B D}=\frac{U}{R+r} r=\frac{2}{5} U .

Показания амперметра I_3=\frac{U_{B D}}{R}=\frac{2 U}{5 R}.

Направление тока от узла B к узлу D . Также легко видеть, что I_3>I_2 .

Ответ I_1 = 0; \ I_2 = U/8R, от D к B ; I_3 = 2U/8R, от B к D .