Бесконечные цепи. Метод наложения. Бесконечные сетки

Бесконечные сетки

Бесконечные сетки отличаются от бесконечных цепей тем, что они продолжаются во все стороны на плоскости, а не по одному выделенному направлению. Таким образом, ни метод использованный нами для бесконечных цепей, ни правила Кирхгофа, записанные «в лоб» не дают верного ответа.

В таких случаях помогает метод наложения. Рассмотрим на примере - существует бесконечная сетка, форма которой отображена на рисунке. Каждый отрезок между соседними узлами является резистором сопротивлением r . Необходимо вычислить сопротивление между точками A и B.

3л8 Обведём всю сетку на бесконечном удалении от точек А и В проводом без сопротивления. На бесконечном удалении от клемм потенциал узлов равен 0, поэтому мы ничего не изменим, соединив точки одинакового потенциала. Назовём этот провод С и воспользуемся методом наложения. Первая из накладываемых схем следующая - ток I втекает в точке А и выходит в «точке» С. Из общей симметрии такой схемы токи будут распределяться как на рисунке слева:

3л9 Вторая схема устроена обратным образом - ток втекает через «точку» C и выходит через точку B. Из симметрии, токи будут распределены так же, как на первом рисунке, только направлены к «центральному» узлу B. (рисунок справа)

Теперь наложим эти две схемы и получим, что ток на каждом из двух резисторов соединяющих А и В кратчайшим маршрутом ток равен

I / 6+I / 12=I / 4, значит напряжение между клеммами

U_{A B}=2 \cdot I / 4 \cdot r=\frac{I r}{2}, поделив на общий ток получаем

R_{A B}=\frac{r}{2}, что и является ответом.

Краткий алгоритм решения:

1. Окружаем схему проводом без сопротивления, проходящим на большом расстоянии от рассматриваемого задачей участка.

2. Расставляем токи исходя из симметрии на схеме для каждой из клемм.

3. Накладываем схемы.

4. Вычисляем напряжение между клеммами, делим на общий ток и записываем ответ.