Закон Джоуля - Ленца

Задача 3

Условие

В электрической цепи, схема которой показана на рисунке, сопротивления резисторов R и напряжение U_0 на клеммах источника известны, вольтметр идеальный. При каком сопротивлении нагрузки R_н в ней будет выделяться максимальная мощность, и какое напряжение U в этом случае будет показывать вольтметр?

8_2_6 Решение

Поскольку вольтметр идеальный, то ток через него не течёт. Введём обозначения I_1 и I_2 для сил токов, текущих в среднем и верхнем участках цепи, как показано на рисунке.

8_2_6s В соответствии с законом сохранения электрического заряда, сила тока, текущего через источник, равна I_1 + I_2 . Из второго правила Кирхгофа: I_1R_н = 2I_2R - I_1R \ и \ 3I_2R + I_1R = U_0. Решая систему получим: I_1 = \frac{2U_0}{5R + 3R_н}. Тогда мощность выделяемая на нагрузке: P = \frac{4U_0^2R_н}{(5R + 3R_н)^2} = \frac{4U_0^2R_н}{25R^2} + \frac{4U_0^2}{30R} + \frac{4U_0^2}{9R_н}. Среднее слагаемое это константа, значит необходимо максимизировать сумму первого и третьего слагаемых. Из задачи 5 следует, что сумма максимальна при R_н = \frac{5}{3}R. Подставляя, получаем: P_{\max} = \frac{4U_0^2}{15R} + \frac{4U_0^2}{30R} + \frac{4U_0^2}{15R} = \frac{2U_0^2}{3R}, \ \ \ I_1 = \frac{U_0}{5R}, \ \ \ I_2 = \frac{4U_0}{15R}. Напряжение на вольтметре в этот момент: U = |I_2R - I_1R| = \frac{U_0}{15}.

Ответ R_н = \frac{5}{3}R ; U = \frac{U_0}{15}.

Задача 4

Условие

В электрической цепи, содержащей источник постоянного тока I_0 (см. рис.) на двух одинаковых резисторах выделяется мощность P = 0.5 Вт, а на двух других — мощности 2P и P_x . При этом, через идеальный амперметр протекает ток силой I_A = 25 мА. Определите значение мощности P_x , сопротивления всех резисторов и напряжения на них. Найдите значение I_0 источника.

Примечание: источником постоянного тока называют активный элемент электрической цепи, через который протекает ток силой I_0 , при подключении к нему резисторов с различными в широком диапазоне сопротивлениями.

8_2_7 Решение

Так как амперметр идеальный, и мощности, выделяющиеся на двух одинаковых резисторах равны, то через них текут одинаковые токи I_1 и падение напряжения на них равно половине разности потенциалов на источнике. Но тогда равны мощности и на двух оставшихся резисторах, так как через них текут тоже одинаковые токи I_0 - I_1 . Значит P_x = 2P.

Так как по условию мощности отличаются в 2 раза, то токи и сопротивления резисторов отличаются тоже в 2 раза. Откуда I_1 = I_A = I_0/3 . Тогда I_0 = 75 мА.

Напряжение на резисторах одинаковы и равны U = P_1/I_1 = 20 В, а сопротивления резисторов R_1 = U/I_1 = 800 Ом, R_2 = 400 Ом.

Ответ P_x = 2P ; R_1 = 800 Ом , R_2 = 400 Ом ; U_1 = U_2 = 20 В .

Задача 5

Условие

Школьник Вася присоединяет к источнику питания, схема которого изображена на рисунке, электрические лампочки. Присоединив к источнику одну электрическую лампочку, Вася обнаружил, что на ней выделяется мощность P . Присоединив к источнику четыре такие же лампочки, соединённые параллельно, Вася обнаружил, что на них вместе также выделяется мощность P . Какая мощность P_n будет выделяться на лампочках, когда Вася подсоединит к источнику питания n параллельно соединённых лампочек? Считайте, что сопротивление лампочки не зависит от силы тока.

8_2_8 Решение

Обозначим сопротивление лампочки за r_л , сопротивление батареи за r , а ЭДС за U_0 . Тогда для одной лампочки по второму правилу Кирхгофа: U_0 = Ir + Ir_л. И мощность: P = I^2r_л = \frac{U_0^2r_л}{(r + r_л)^2}. Для четырёх лампочек: U_0 = I_2r + \frac{I_2r_л}{4}. И, соответствующая мощность: P = 4 \cdot I_2^2r_л/16 = 4\frac{U_0^2r_л}{(4r + r_л)^2}. Значит: r^2 + 2rr_л + r_л^2 = 4r^2 + 2rr_л + r_л^2/4. Упрощая: 3r^2 = \frac{3}{4}r^2_л \ \Rightarrow \ r_л = 2r. Для n лампочек: U_0 = I_nr + \frac{I_nr_л}{n}. И, соответствующая мощность: P_n = n \frac{I_n^2r_л}{n^2} = n\frac{U_0^2r_л}{(nr + r_л)^2} = \frac{2n}{(n + 2)^2}\frac{U_0^2}{r} . Пересчитывая выражение для мощности одной лампочки, учитывая r_л = 2r : P = \frac{2U_0^2}{9r}\ \Rightarrow \ \frac{U_0^2}{r} = \frac{9P}{2}. Подставляя: P_n = \frac{9n}{(n + 2)^2} P.

Ответ P_n = \frac{9n}{(n + 2)^2} P.