Закон Джоуля - Ленца

Задача 1

Условие

Электрическая цепь (рис.) подключена к сети постоянного напряжения. При изменении сопротивления переменного резистора R на нём выделяется мощность P_0 = 16 Вт при токе I_1 = 1 A и I_2 = 4 A. Определите наибольшую мощность P_{\max} , которая может выделиться на резисторе R .

8_2_4 Решение

По второму правилу Кирхгофа: U = I(R + r) \ \Rightarrow \ R = \frac{U}{I} - r. По закону Джоуля-Ленца: P = I^2R = UI - rI^2. Это параболическая зависимость, её максимум достигается при I_0 = \frac{U}{2r}. А с другой стороны из симметричности параболы I_0 = \frac{I_1 + I_2}{2} = 2.5 \ А. Из условия P_0 = UI_1 - rI_1^2 \ \Rightarrow \ U = \frac{P_0}{I_1} + rI_1 \ \Rightarrow \ 2I_0r = \frac{P_0}{I_1} + rI_1. И выражая: r = \frac{P_0}{I_1(2I_0 - I_1)} = 4 \ \Omega \ \Rightarrow \ U = 2rI_0 = 20 \ В. Искомое P_{\max} = UI_0 - rI_0^2 = 25 \ Вт.

Ответ P_{\max} = 25 Вт.

Задача 2

Условие

Докажите, что сумма \frac{A}{x} + Bx, максимальна при \frac{A}{x} = Bx, на промежутке x \in (0, \infty).

Решение

\frac{A}{x} + Bx = \frac{A + Bx^2}{x}. Обозначим максимальное возможное значение суммы за K : K = \frac{A + Bx^2}{x} \Rightarrow Kx = A + Bx^2 \Rightarrow Bx^2 - Kx + A = 0. Значит: x = \frac{K \pm \sqrt{K^2 - 4BA}}{2B}. При этом понятно, что максимум искомой суммы единственен (легко прикинуть по графику))

Значит K^2 = 4AB \ и \ x = \frac{K}{2B} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{A}{B}}. Подстановкой убеждаемся, что доказываемое утверждение верно. Ч. т. д.