Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Метод векторных треугольников

Пример 4. Заряд фейерверка в верхней точке траектории распадается на два осколка, разлетающихся горизонтально в противоположные стороны со скоростями v_{1}=8 м/с и v_{2}=18 м/с. Найдите расстояние между осколками в тот момент, когда их скорости взаимно перпендикулярны.

Решение. Воспользуемся выражениями \vec{v}_{\text {к1 }}=\vec{v}_{1}+\vec{g} \tau ; \vec{v}_{\text {к } 2}=\vec{v}_{2}+\vec{g} \tau и изобразим данные равенства в виде векторных треугольников скоростей, как показано на рисунке 13. Введём угол \alpha между векторами \vec{v}_{1} и \vec{v}_{\text {к1 }} .

image.png

Рис. 13

Тогда из прямоугольных треугольников получим tg \alpha=\frac{g \tau}{v_{1}}=\frac{v_{2}}{g \tau} . Откуда время \tau=\frac{\sqrt{v_{1} v_{2}}}{g} .

Расстояние между осколками в этот момент равно l=v_{\text {тносит. }} \tau= \left(v_{1}+v_{2}\right) \tau=\left(v_{1}+v_{2}\right) \frac{\sqrt{v_{1} v_{2}}}{g}=31,2 м.

Обратите внимание, что в данном случае горизонтальные составляющие скоростей осколков остаются постоянными. И расстояние рассчитывается по горизонтали.

Пример 5. Со скалы, возвышающейся над морем, бросили камень под углом \alpha к горизонту. Найдите время полёта камня, если известно, что непосредственно перед падением в воду его скорость была равна v и направлена под углом \beta к горизонту.

Решение. Введём систему координат, как показано на рисунке 14, a . Воспользуемся выражением \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{g} t и изобразим данное равенство в виде векторного треугольника скоростей, как показано на рисунке 14, б.

image.png

Рис. 14

Воспользуемся теоремой синусов: \frac{v}{\sin \left(90^{0}-\alpha\right)}=\frac{g \tau}{\sin (\alpha+\beta)} . Откуда время полёта камня \tau=\frac{v \sin (\alpha+\beta)}{g \sin \left(90^{0}-\alpha\right)}=\frac{v \sin (\alpha+\beta)}{g \cos \alpha} .

Таким образом векторный способ решения задач проще координатного.