Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Метод векторных треугольников

Треугольник скоростей и треугольник перемещений

До сих пор мы рассматривали решение кинематических задач путём проецирования векторных уравнений зависимости скорости и перемещения на координатные оси. При этом нам приходилось решать систему уравнений. Это так называемый «координатный метод».

Однако в ряде случаев удобнее работать непосредственно с векторными уравнениями, визуализируя их в виде векторных треугольников или многоугольников, что позволяет использовать известные свойства геометрических фигур и теоремы, изученные вами в курсе геометрии.

Зависимость перемещения тела от времени имеет вид \vec{s}=\vec{v}_{0} t+\frac{\vec{a} t^{2}}{2} , а зависимость скорости от времени \hat{a} \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{a} t . Эти зависимости можно представить в виде векторных треугольников, изображённых на рисунках 1, а, б.

1 Рис. 1

В первом векторном равенстве все слагаемые имеют размерности длины, поэтому такой треугольник можно назвать треугольником перемещений, а во втором уравнении все слагаемые имеют размерности скорости, такой треугольник назовём треугольником скоростей.

При решении задач на движение тела под действием силы тяжести зависимость перемещения тела от времени имеет вид \vec{s}=\vec{v}_{0} t+\frac{\vec{g} t^{2}}{2} . При этом нам известно не только чему равен модуль ускорения, но и куда оно направлено â вертикально вниз. Траекторией летящего тела является парабола с вертикальной осью симметрии. Треугольник перемещений в этом случае имеет вид, показанный на рисунке 2 . В данном случае вектор \vec{v}_{0} t равен перемещению тела в случае, если бы скорость тела за время t не изменялась. Этот вектор направлен под углом \alpha к горизонту. Вектор \frac{\vec{g} t^{2}}{2} направлен вертикально вниз (его направление совпадает с направлением ускорения свободного падения).

2 Рис. 2

Зависимость скорости от времени в этом случае выражается формулой \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{g} t . При этом вектор скорости направлен по касательной к траектории в данный момент времени, вектор \vec{g} t направлен вертикально вниз. Поэтому треугольник скоростей имеет вид, показанный на рисунке 3.

3 Рис. 3

Обратим внимание на то, что вектор скорости в этом треугольнике может быть направлен горизонтально, если рассматривается момент достижения телом, брошенным под углом к горизонту, верхней точки траектории. Он также может быть направлен под некоторым углом \beta вверх или вниз, в зависимости от того, какой момент времени полёта тела рассматривается в задаче.

Кроме того заметим, что угол между векторами \vec{v}_{0} t и \frac{\vec{g} t^{2}}{2} , а также между векторами \vec{v}_{0} и \vec{g} t в соответствующих треугольниках перемещений и скоростей одинаков и равен ( 90^{\circ}-\alpha ). Однако угол между вектором перемещения и горизонтом, а также вектором скорости и горизонтом различны.

Если сторону \vec{g} t в треугольнике скоростей разбить на две равные части и в полученном треугольнике провести медиану, то получим вектор \frac{\vec{s}}{t} (см. рис. 4). При этом все углы в треугольнике, образованном векторами \vec{v}_{0}, \frac{\vec{g} t}{2} и \frac{\vec{s}}{t} , равны соответствующим углам в треугольнике перемещений, а стороны этого треугольника отличаются в t раз. Таким образом, вектор перемещения направлен вдоль медианы в треугольнике скоростей.

4 Рис. 4

Кроме того, отношение \frac{\vec{s}}{t} есть средняя скорость \vec{v}_{\text {ср. }} . Следовательно, вектор средней скорости в треугольнике скоростей является медианой, проведенной к стороне \vec{g} t (см. рис. 5).

5 Рис. 5

Из уравнений \vec{v}_{\text {ср. }}=\frac{\vec{s}}{t}=\vec{v}_{0}+\frac{\vec{g} t}{2} и \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{g} t после математических преобразований получаем \vec{v}_{\text {ср. }}=\frac{\vec{v}+\vec{v}_{0}}{2} .

Учитывая, что \vec{v}_{0}=\vec{v}-\vec{g} t , получим ещё одно соотношение \frac{\vec{s}}{t}=\vec{v}-\frac{\vec{g} t}{2} .

Обратим внимание, что за всё время полёта скорость тела принимает значения от v_{0} до v (см. рис. 6). Причём конец вектора скорости в любой момент времени в треугольнике скоростей будет всё время оканчиваться на одной вертикали.

6 Рис. 6

Минимальное значение скорости тела, брошенного под углом к горизонту, соответствует моменту времени, когда тело находится в верхней точке траектории. В этот момент скорость тела направлена горизонтально. В треугольнике скоростей этот вектор перпендикулярен вектору \vec{g} t .