Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Метод векторных треугольников

Используя треугольник скоростей, можно также найти максимальную высоту подъёма тела, брошенного под углом к горизонту (рис. 7, a- в). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора v_{0}^{2}=(g t)^{2}+v_{\text {min }}^{2} и учтём, что \frac{h}{t}= \frac{g t}{2} . Получим h=\frac{v_{0}^{2}-v_{\min }^{2}}{2 g} .

7 Рис. 7

Докажите самостоятельно, что и в случае, когда речь идёт не о верхней точке траектории, начальная скорость v_{0} и скорость v тела на высоте h связаны между собой только этой высотой подъёма h по формуле h=\frac{v_{0}^{2}-v^{2}}{2 g} .

Рассмотрим треугольник скоростей, изображённый на рисунке 8. Площадь этого треугольника равна S_{\Delta}=\frac{v_{\min g}}{2}=\frac{v_{0} \cos \alpha g t}{2}=\frac{v_{0 x} g t}{2}=\frac{l g}{2} , где l- горизонтальная дальность полёта. Эти соотношения могут оказаться полезными при решении задач.

image.png

Рис. 8

Несколько полезных математических формул для работы с треугольниками скоростей и перемещений

При решении задач с использованием треугольников скоростей и перемещений могут оказаться полезными следующие математические формулы. Рассмотрим треугольник, изображённый на рисунке 9.

image.png

Рис. 9

Для любой из сторон треугольника можно записать теорему косинусов. Например, для стороны a она будет иметь вид a^{2}=c^{2}+b^{2}-2 b c \cos \alpha .

Стороны треугольника и их углы связаны теоремой синусов: \frac{a}{\sin \alpha}= \frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma} .

Для нахождения площади треугольника удобно пользоваться следующими формулами: S_{\Delta}=\frac{c h}{2}=\frac{a b \sin \gamma}{2}=\frac{c^{2} \sin \alpha \sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)} .

Кроме этого, полезными при решении задач оказываются формулы приведения, например такие: \sin \left(90^{\circ}-\alpha\right)=\cos \alpha ; \cos \left(90^{\circ}-\alpha\right)=\sin \alpha .