Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Метод векторных треугольников

Пример 1. Тело брошено горизонтально со скоростью 10 м/с. Определите величину и направление скорости тела через 1 с после начала полета. Под каким углом к горизонту направлен вектор перемещения в этот момент?

Решение. Введём систему координат, как показано на рисунке 10, a . Воспользуемся выражением \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{g} t и изобразим данное равенство в виде векторного треугольника скоростей, как показано на рисунке 10 , б.

image.png

Рис. 10

По теореме Пифагора v=\sqrt{v_{0}^{2}+(g t)^{2}} \approx 14 м/С. При этом угол \alpha= arctg\left(\frac{g t}{v_{0}}\right) \approx 45^{\circ} .

Вспомним, что в треугольнике скоростей вектор \frac{\vec{s}}{t} является медианой, таким образом он делит сторону gt пополам. Тогда tg \alpha=\frac{g t}{v_{0}} , а tg \beta=\frac{g t}{2 v_{0}} . Откуда получим tg \beta=\frac{tg \alpha}{2} . При этом угол \beta=arctg\left(\frac{tg \alpha}{2}\right) \approx 27^{\circ} .

Пример 2. Тело бросили со скоростью v_{0} под углом \alpha к горизонту. Через какое время \tau его скорость будет перпендикулярна начальной?

Решение. Воспользуемся выражением \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{g} t и изобразим данное равенство в виде векторного треугольника скоростей, как показано на рисунке 11.

image.png

Рис. 11

Для прямоугольного треугольника справедливо равенство \sin \alpha=\frac{v_{0}}{g \tau} . Откуда получаем время \tau=\frac{v_{0}}{g \sin \alpha} .

Пример 3. Через время \tau скорость тела, брошенного под некоторым углом к горизонту, оказалась перпендикулярна начальной скорости. Найдите перемещение тела за это время.

Решение. Воспользуемся выражением \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{g} t и изобразим данное равенство в виде векторного треугольника скоростей, как показано на рисунке 12. Вспомним, что в этом треугольнике медианой является отношение \frac{\vec{s}}{\tau} .

image.png

Рис. 12

Способ 1. Воспользуемся теоремой косинусов:

\frac{s}{\tau}=\sqrt{\left(v_{0}\right)^{2}+\left(\frac{g \tau}{2}\right)^{2}-2 v_{0} \frac{g \tau}{2} \cos \left(90^{0}-\alpha\right)} Учтём, что \cos \left(90^{\circ}-\alpha\right)=\sin \alpha , а в свою очередь из треугольника скоростей \sin \alpha=\frac{v_{0}}{g \tau} . Тогда после математических преобразований получим s=\frac{g \tau^{2}}{2} .

Способ 2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы. Поэтому можно сразу записать \frac{s}{\tau}=\frac{g \tau}{2} , откуда получим s=\frac{g \tau^{2}}{2} .