Параллельное и последовательное соединение

Задача 7

Условие

Найти эквивалентное сопротивление R_{ab} .

0с9 Решение

Преобразуем три внутренних резистора по правилу преобразования звезда-треугольник (см. рис.):

0с10 Следовательно получаем следующую схему:

0с11 Перерисуем в привычном нам виде:

0с12 Верхний участок даст в сумме 9 Ом, нижний рассчитаем как параллельное соединение:

R_1=\frac{18 \cdot 9}{18+9}=6 \ Ом. В итоге:

R_{\text {экв}}=\frac{6 \cdot 9}{6+9}=3.6 \ Ом. Ответ R_{экв} = 3.6 \ Ом

Задача 8

Условие

В электрических цепях (рис.) сопротивление R_{A B} между зажимами A и B и сопротивление R_{C D} между зажимами C и D равны, а сопротивления резисторов R_1, R_2 и R_3 - заданы. Найдите все возможные значения сопротивления R_x . Докажите, что других решений нет.

0с13 Решение

Наиболее просто сопротивления R_{A B} и R_{C D} можно вычислить, если соединение «треугольником» резисторов R_1, R_2 и R_x (на рисунках 1 и 2 оно обведено пунктирным контуром) замени эквивалентным соединением «звездой» (рис. 3 и 4).

0c14 На данном этапе мы воздержимся от пересчета «треугольника в «звезду», а будем считать, что r_A, r_{1 \text { и }} r_2 нами уже найдены. Поскольку R_{A B}=R_{C D} , то и R_{M B}=R_{N D} , так как r_A соединено последовательно с каждым из них:

R_{M B}=\frac{\left(r_1+R_3\right)\left(r_2+R_x\right)}{r_1+r_2+R_8+R_x}=R_{N D}=\frac{\left(r_1+R_x\right)\left(r_2+R_3\right)}{r_1+r_2+R_3+R_x}. Так как в последнем уравнении знаменатели равны, то должны быть равны и числители:

\left(r_1+R_3\right)\left(r_2+R_x\right)=\left(r_1+R_x\right)\left(r_2+R_3\right) . После раскрытия скобок и приведения подобных членов это уравнение примет вид:

r_1\left(R_x-R_3\right)=r_2\left(R_x-R_3\right). Такое равенство возможно в двух случаях:

1. R_x=R_3 - это один корень уравнения;

2. r_1=r_2 .

Данное равенство указывает на симметрию соединения «звездой», но симметрия «звезды» возможна только тогда, когда и исходная схема соединения «треугольником» обладает подобной симметрией, то есть когда R_1=R_x - это второй корень уравнения. Других решений у составленного нами уравнения нет. Следовательно, возможны только два значения R_x :

R_x=R_1 \text { и } R_x=R_3. Ответ R_x=R_1; \ R_x=R_3 .